数学建模论文--数码相机定位

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1、数码相机定位摘要随着数码技术的迅速发展，数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面得到了泛的应用，针对本题的数码相机的定位问题，我们建立了一个多目标优化的数学模型I用来确定像的坐标与靶标的坐标之间对应关系，即通过像坐标可以直接求出靶标的坐标。这种方法可以较好的解决由于像坐标存在误差，而引起靶标坐标能否精确计算的问题。我们用此模型，比较准确的还原出靶标上的点。给定靶标上的点，我们可以对应的求出像面上的点，即得到了一个像面上的点与靶标上的点的一一对应的较准确的关系。我们首先要确定出像面上椭圆的中心坐标，

2、因此我们采用了几何方法，根据椭圆任意两点的切线的交点与两切点的中点的连线必经过椭圆中心，所以椭圆中心即可确定下来，由以上的多目标优化模型即可求得靶标的中心，但由于多目标模型运行时间过长，所以我们改进模型为单目标优化模型，经改进以后的模型就可用较短的时间求出靶标的中心。由于本文采用的是一个优化模型，求出的是其近似解，与实际的原坐标位置有一定的偏移，所以我们需检验其精度，采用两种方法检验：1、求出5个点的共面度，结果为mm；2、通过用B点坐标计算出像的坐标，结果与实际相差1点像素，精度相当不错的。对于

3、由两部相机摄的像确定两部相机的相对位置及方向，我们给出一个模型II：利用模型1所求的两组坐标，及坐标系的平移和旋转关系确定。并指出该模型的最小二乘求法，该方法可以较好的处理误差所引起的方程不相容问题。关键词几何变换多目标优化数码成像一、问题的重述数码相机定位数码相机定位在交通警察（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得

4、该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就

5、是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。图1靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。图2靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图3靶标的像请你们：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y

6、平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786；（1）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（2）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题的分析针孔成像：假设物体表面的反射光都经过一个针孔中心而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。针孔成像主要有光心（投影中心）、成像面和光轴组成。本文

7、中的针孔是指光学中心。本问题研究的是相机的定位问题，数码相机成像原理图如下图（1），又光线穿过光学中心成像，所以凸透镜成像模型可以简化为一个针孔成像模型，其原理图如图（2），由图可看出，景物所在的面为物面，底片所在的面为像面，BO为物距，OD为像距，与相似，已知物面任意一点的坐标即可根据相似三角形的原理求得对应像面点的坐标。照相机成像原理图（1）图（2）针孔成像的原理图形三、模型的建立与求解但是由于像坐标的计算上存在误差，这种误差有可能是相机系统造成，也可能是计算标靶圆的像中心时算法所产生的。这种

8、误差可定是存在的，由数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置，则必将导致原物象的变形，所以我们就要求的一种误差最小的方法，该问题可转化一个多目标化的最优化问题。根据多目标求误差最小化，该问题可分四步来进行求解：1.求出物面中的点空间坐标在像面中对应的点的对应关系。2.由已知物面中圆的圆心求出对应像面中五个椭圆的中心点。3.该问题相当是第一问的反函数，我们已知了像平面上各点的坐标，反推出靶标的位置。先通过任意3个点的像坐标确定对应靶标的位置，确定一张平面，再验算其他两点是否