2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案及评分标准

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1、江苏省2008数学竞赛复赛冯惠愚2008．09．06．2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.函数f(x)＝cos4x＋sin2x(x∈R)的最小正周期是()A．B．C．πD．2π2.已知平面上点的集合M＝{(x，y)

2、y＝}，N＝{(x，y)

3、y＝k(x＋1)}.当M∩N≠Æ时，k的取值范围是()A．[－，]B．[0，]C．[－，0]D．[，＋∞)3.“x2＋y2＜4”是“xy＋4＞2x＋2y”成立的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．既不充分也不必要

4、条件D．充分必要条件4.已知关于x的方程x2－2ax＋a2－4a＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a的所有取值为()A．1，9B．－1，9，2－C．1，9，2＋D．1，9，2－Oyx小12-1-25.设f(x)是一个三次函数，f¢(x)为其导函数.如图所示的是y＝xf¢(x)的图像的一部分.则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)6.已知等比数列{an}的公比q＜0，其前n项和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是()A．

5、a9S8＞a8S9B．a9S8＜a8S9C．a9S8＝a8S9D．与a1的值有关二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.集合A＝{x

6、x＝[]，k∈Z，100≤k≤999}，其中[x]表示不大于x的最大整数.则集合A的元素个数为．8.已知数列{an}满足a1＝5，an＝(n≥2，n∈N*），则其前100项的和是．9.在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是．10.关于x的方程x2＋a

7、x

8、＋a2－3＝0(a∈R)有惟一的实数解，则a＝．11.直线L：(2m＋1)x＋(m＋1)

9、y－7m－4＝0被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的最短弦长为．12.设以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e.以F1为顶点、F2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P.若＝e，则e的值为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f(x)＝x－k(x≥1)，其中k为给定的实数，0＜k＜1.试求f(x)的值域.9江苏省2008数学竞赛复赛冯惠愚2008．09．06．OxyPTMF14．从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝9的切线，切点为T.延长FT交双曲线右支于点P.若M

10、为线段FP的中点，O为坐标原点，求

11、MO

12、－

13、MT

14、的值.OABCDE15．已知△ABC的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O到边AB、BC的距离也都是整数，AB＞BC.求△ABC的三边的长度.9江苏省2008数学竞赛复赛冯惠愚2008．09．06．2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷加试一.(本题满分50分)已知点O为凸四边形ABCD内的一点，AO＝OB，CO＝OD，∠AOB＝∠COD＝120°.点E、F、G分别是线段AB、BC、CD的中点，求证：∆EFG为正三角形.二.(本题满分50分)已知a，

15、b，c，d为正实数，a＋b＋c＋d＝4，求证：a2bc＋b2da＋c2da＋d2bc≤4.三.(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n：存在一个n＋1项的数列a0，a1，…，an，满足a0＝0，an＝2008，且

16、ai－ai－1

17、＝i2，i＝1，2，…，n.9江苏省2008数学竞赛复赛冯惠愚2008．09．06．2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.函数f(x)＝cos4x＋sin2x(x∈R)的最小正周期是()A．B．C．πD．2π选B．解：法一由f(

18、x＋)＝sin4x＋cos2x＝sin4x＋cos4x＋cos2xsin2x＝cos4x＋sin2x＝f(x)；又f(0)＝1、f()＝＋≠f(0)；选B.法二由f(x)＝cos4x＋1－cos2x＝cos2x(cos2x－1)＋1＝1－cos2xsin2x＝1－sin22x＝cos4x＋．可知f(x)的最小正周期为＝.选B.2.已知平面上点的集合M＝{(x，y)

19、y＝}，N＝{(x，y)

20、y＝k(x＋1)}.当M∩N≠Æ时，k的取值范围是()A．[－，]B．[0，]C．[－，0]D．[，＋∞)选B．解：集合M的图形

21、为以(1，0)为圆心、1为半径的圆的上半圆，集合N的图形为过(－1，0)的直线．若直线与圆有公共点，则易得其倾斜角在[0，]内，故k∈[0，]．3.“x2＋y2＜4”是“xy＋4＞2x＋2y”成立的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件选A．解：由xy＋4＞2x＋2yÛ(x－2)(y－2)＞0Ûx＜