最小淋雨量问题

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1、题目最小淋雨量问题摘要本模型是研究生活中人在雨中行走时淋雨量的问题。人在雨中行走过程较为复杂，但我们可以通过忽略行走中身体的上下浮动及双臂与腿部的摆动来将人体行走的运动简化为一个较为规则的四棱柱的运动。也就是将人简化为一个规则的，仅有长、宽、高的一个长方体，建立模型。本题中广泛采用了微分方程模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。对于上表面，均采用降雨量与时间的微分（即单位时间内所接受的雨水量）建立关系，再通过求积分而得出问题所求解的函数关系式。而对于与雨水接触的侧面，我们采用了化归的思想，将

2、人与雨水接触的平面沿雨水的方向投影向地面，也就是说化归为了一个求平面接触雨水的问题，与上表面所采用的方法相同，同样以降雨量与时间的微分建立微分方程，求解函数关系式。而对于较为复杂的第三问，我们以人的速度比雨的速度小，人的速度比雨的速度大，人的速度与雨的速度相同的三种情况讨论，并分别求解，也就是说同样化归为了一个求平面与求侧面淋雨量的情况。然后根据所得函数式，借助数学工具MATLAB求得所需函数图形。第五问同样采用归元法，建立空间坐标轴，分解雨水为三个雨人的侧面平行的方向，在分别求解即可。本题广泛采用了化归思想，将未解决的问题转化为已解决

3、问题，将较复杂的问题转化为较简单问题，结合微分方程模型，使得原本较为复杂的问题显得简单，易懂。模型基本解决了现实中淋雨量的问题。而本模型的实际意义又不仅仅局限于现实中的淋雨问题，降雨同样可以与气流相类比，因此本模型有极大地现实意义，可广泛拓展到工业、生产、生活领域。可用于计算以一定速度运动地机械承受的气流量，同样可用于计算建筑所承受的气流量……关键词：长方体淋雨量微分方程模型matlab化归思想1问题重述在人行进在雨中时，淋雨量和人行进速度之间是怎样的关系。为了研究这个问题，假设一人在雨中从一处沿直线跑到另一处，雨速为常数且方向不变，但

4、是雨水的下落方向存在差异，因此就雨水的方向建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化为一个长方体，高=1.5m(颈部以下)，宽=0.5m，厚=0.2m，设跑步距离=1000m,跑步最大速度为=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2cm/h，记跑步速度为,按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1。建立总淋雨量与速度v及参数,,,,,，之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。计算=0,=300时的总淋雨

5、量。（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2。建立总淋雨量与速度及参数,,,,,,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算＝300时的淋雨量。（4）以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。图1图2图12基本假设（1）假设降雨面积相对地球面积较小，降雨地区的地面是平面。（2）假设降雨时，雨水基本是均匀分布在空间中的。（3）假设人在行进过程中是没有上下浮动的。（4）假设人在行进过程中不是一步一步间断地

6、行进的而是均匀行进的。3符号说明符号说明：1)雨中人的身高2)雨中人的宽度3)雨中人的厚度4)人奔跑的距离5)雨的速度111)雨与人之间的夹角2)问题（1）中矢量加和后雨水与人的夹角3)雨水从背后下落与人行速度矢量作和后的夹角4)问题（3）中雨水与人的夹角5)问题2中雨水速度与人行速度矢量加和后雨与人所成的角度6)人奔跑的速度7)人奔跑的最大速度8)每秒钟每平方米接受的雨水厚度9)空间中每立方米雨水的含量10)人的上表面积11)人的侧面积12)上表面接受的雨量13)侧面接受的雨量14)人接受的总的雨量15)问题一种阴影部分的面积16)问

7、题（3）第一个模型中阴影部分的面积17)问题（3）第二个模型中阴影部分的面积18)问题（2）中阴影部分的面积19)常数4模型建立与求解4.1模型14.1.1模型分析人运动的速度决定了上表面暴露在雨中11得时间，也就间接影响了人的总的淋雨量，而由于雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只与走过的路程有关。所以速度愈大，淋雨量愈小，这是个最优解问题。考察题干，这是一个实际对象的特性随时间变化的过程，由此可用微分方程模型求解。4.1.2模型建立在微分方程中，上表面所淋雨对时间的导数即为单位时间内上表面所接受雨量，即得微分方程而在本题中，所以要求得淋雨

8、量与速度的关系只需进行函数积分。又由分析可知侧面所受雨量为一常数。所以仅需在方程后加上即可。即为前表面淋雨量，对于的求解，可以建立两种模型，（1）将雨水看做是均匀地分布在空间中的，单位体积内的雨量根据降雨量