分析力学复习与例题殷德京

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1、分析力学复习与习题课考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有主动力约束力惯性力令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为§5.3.1动力学普遍方程——动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。1动力学普遍方程动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具

2、有无势力的系统。动力学普遍方程主要应用于已知主动力求系统的运动规律。应用动力学普遍方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。由于动力学普遍方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。应用动力学普遍方程，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用例题1已知：m，R,f，。求：圆盘纯滚时质心的加速度。φCmgaCFIRMICx解：1、分析运动，施加惯性力2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移x。3、应用动力学普遍方程其中：BAC例题2离心调速器已知：m1

3、－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；－O1y1轴的旋转角速度。求：－的关系。llllO1x1y1解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标q=1、分析运动、确定惯性力球A、B绕y轴等速转动；重锤静止不动。球A、B的惯性力为FIBFIAm1gm2gm1gBACllllO1x1y1FIBFIAm1gm2gm1grCrBrA2、令系统有一虚位移。A、B、C三处的虚位移分别为rA、rB、rC。3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有BACllllO1x1y1FIBFIA

4、m1gm2gm1grCrBrA3、应用动力学普遍方程xOyC2D求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar。C1ACB例题3质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。解：1、分析运动三棱柱作平动，加速度为a1。圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae=a1；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。a1aear2xOyC2DC1ACBa12m1gm2gFI1FI2eFI2rMI2aear解：2、施加惯性力解：3、确定虚位移考察三棱柱

5、和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。第一组第二组二自由度系统具有两组虚位移：xxOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2解：4、应用动力学普遍方程令：xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2解：4、应用动力学普遍方程令：x解：5、求解联立方程此即拉格朗日方程如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力2拉格朗日(Lagrange)方程引入拉格朗日函数L＝T－V得到主动力为有势力的拉格朗日方程如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力对于只具有完整约束、自由度为N的

6、系统，可以得到由N个拉格朗日方程组成的方程组。应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程的应用OARrM例题均质杆OA质量为m1、可以绕O端转动,小齿轮A质量为m2，半径为r,其上作用力偶M。求：该杆的运动方程。解：1、系统具有一个自由度，取为其广义坐标。2、计算系统的动能：其中：OARrM3、计算广义力：4、

7、应用拉格朗日方程例题5已知：m1,m2,R,f,F。求：板的加速度。FCR解：1、系统具有二个自由度，取x、为其广义坐标。Oxx2、计算系统的动能：其中：3、计算广义力：(1)令：(2)令：Fs4、应用拉格朗日方程解得：例题6xOxl0质量为m、长度为l的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动。A端的小圆轮与刚度系数为k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为l0。求：系统的运动微分方程ABkC解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x,),x坐标的原点取在弹簧原长的下方。xOxl0AB

8、kC解：3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为AB杆的动能速度vC的确定系统的势能