矩阵论及其应用-1 chapter1

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1、MatrixTheory武文佳上海电机学院数理教学部矩阵论课程：矩阵论（MatrixTheory）学时：36学时（36Lectures）教材：矩阵理论及其应用（第１版）邱启荣主编考核方式：闭卷笔试矩阵理论及其应用参考资料矩阵与计算工具：MATLAB教学参考书：《矩阵论学习指导》邱启荣中国电力出版社，2010《矩阵论》，清华大学出版社，2004。作业：课后习题作业，论文，报告。成绩分配：平时成绩40%（作业+上机）考试成绩60%课程简介矩阵论是数学的重要分支，随着计算机的发展，矩阵理论在电子信息、机械、电力、管理、金融、保险等领域都有着

2、重要的应用。矩阵论---全国工科研究生必修课知识基础：线性代数，高等数学线性代数—包含矩阵的基本知识，如定义，矩阵的初等变换，线性方程组，向量组，秩，相似矩阵，特征值，特征向量，二次型等课程内容线性空间线性变换Jordan标准形向量与矩阵的范数矩阵分析矩阵函数及其应用矩阵的分解广义逆矩阵线性代数预备知识复习1.初等行(列)变换2.初等变换3.线性方程组--非齐次线性方程组;--齐次线性方程组;结论：若上述线性方程组的系数行列式则方程组一定有唯一解.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则其系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式

3、，则齐次线性方程组没有非零解---只有零解.4.线性方程组的向量表示则方程组的向量表示为线性代数预备知识复习5.矩阵的秩----A中非零子式的最高阶数初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.线性代数预备知识复习线性方程组解的判定准则定理：线性代数预备知识复习5.向量组及其线性组合线性组合（1）向量能由向量组线性表示．（2）则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．（3）设在向量组A中能选出r个向量满足：线性无关,（i）向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关.（i

4、i）则称向量组是向量组A的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）（4）线性代数预备知识复习线性无关；（i）那么称部分组为向量组A的一个设A为一个向量组，A的部分组满足：（ii）A的任意向量都能由线性表示。极大无关组的等价定义:极大无关组。注:（1）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（2）向量组的极大无关组一般不是唯一的。（3）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。线性代数预备知识复习第一章线性空间线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广．在线性代数中，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向

5、量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论．现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。1.1集合与映射一、集合二、映射一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集

6、合；当a是集合A的元素时，a属于A，记为：；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．☆集合的表示方法：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2M＝｛x

7、x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝约定：空集是任意集合的子集合.空集：不含任何元素的集合，记为．注意：｛｝≠集合间的关系如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作　　　，（读作B包含于A）当且仅当如果A、B两集

8、合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且集合间的运算交：　；并：显然有，和：设A，B是两个集合，集合称为A与B的和集。集合的和与集合的并有什么区别?注意:称为A与B的积。积：设A，B是两个集合，集合定义1.1.1设A，B是两个非空集合，A到B的一个映射对于集合A中的每一个元素x，都有集合B中的一个唯一确定的元素y与之对应。是指一个对应法则，通过这一法则，用记号表示f是从A到B的一个映射。如果通过映射,与A中元素对应的则记作:B中元素是或二、映射叫做元素在下的象，叫做在下的原象。某个集合A到自身的映射也称为A的

9、一个变换。A在下的象的集合记作注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一确定的元素与之对应；3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能