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时间：2019-07-21
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1、第二节 聚点，内点，界点第二章点集１．欧氏空间中各类点的定义P0为Ec的内点:P0为E的内点：P0为E的外点：P0为E的边界点：P0为E的聚点：P0为E的孤立点：注：内点、孤立点一定属于E；外点一定不属于E，聚点、边界点不一定属于E，例（1）令E=Q，则（2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则对一切1/k(k=1,2,3,…)均为E的孤立点。内点，外点、边界点与聚点的关系结论：内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界点有可能是聚点，也有可能是孤立点.开核与闭包的关系例设p0是E的聚点,证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.证明：由条件知P0δPn2.聚点的等
2、价描述证明：显然，下证定理1：下列条件等价：(1)p0为E的聚点(3)存在E中互异的点所成点列{pn},使得P0δPn定义：称点列{pn}收敛于p0,记为：(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点设p0是E的聚点，证明存在E中的互异的点所成的点列{pn}使则上述取出的点列Pn是互异点列,且证明：由聚点的定义知保证收敛保证点列互异3.开核，导集，闭包的性质定理2若，则定理3若，则定理3的证明：由于，由定理2立得。现设，则对任意，，从而含或中点，由定理1，知存在一串互异的点，使中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。如果有无穷多个在中，则将会有，总之。从而。综上。证
3、毕。
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