初三数学讲义(圆)

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1、初三数学讲义（10）（圆）知识梳理：1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（不能直接用）即：在⊙中，∵∥∴弧弧3.圆

2、心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④弧弧4.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。5.圆内接四边形9圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。6.切线的性质与判定定理（1）

3、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分基本问题：1.如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么

4、∠APC等于 （  ） （A） （B）  （C） （D）1题2题2.等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于（）A.20B.15C.10D.53.已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P9点的最短弦等于（）A.2cmB.3cmC.cmD.cm4.下列判断正确的是（）①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧；④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦5.圆的半径等于4cm，圆内一条弦长cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；6.

5、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（）A..B..C..D..6题7题7.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于 （  ）（A） （B） （C）（D）8.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.42°　　　B.28°　　　C.21°　　　D.20°拓展问题：AFBECD9.如图，AB是半圆的直径，点C平分，点D平分，DB、CA交于点E，

6、则______.9E9题10题10.如图，在DABC中，ÐC=90°，D、E分别是BC上的两个三等分点，以D为圆心的圆过点E，且交AB于点F，此时CF恰好与⊙D相切于点F.如果AC=，那么⊙D的半径=__________.11.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，DP交AC于点Q，若QP=QO，则的值为．12.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC、AB上的高BD、CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH．(1)求证：∠BOC=∠BHC；(2)求证：△BOM≌△COH；(3)求的值综合问题13.如图，△ABC中，以BC为直径

7、的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．914.如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.15.如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，(1)求证：△ABE∽△ADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位