从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)

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1、从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)徐文平（东南大学南京210096）一、引言1）彭色列闭合定理图1思考：彭色列闭合定理的本质是什么？为什么如此奇妙的首尾相连闭合？2）谢国芳定理谢国芳老师猜想，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。图2思考：如果是三角形的时候，彭色列闭合定理，是什么关键点永恒不变啊。3）欧拉几何定理a)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则有（备注：欧拉定理定理也涉及到圆中圆的问题）b）欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三

2、角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。（三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V，重心G，外心O共线，称为欧拉线）图3c）欧拉九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 九点圆具有许多有趣的性质，例如：1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3.三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4.九点圆心(V)，

3、重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。图44）欧拉--彭色列--大狗熊线 大狗熊定理：三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与三角形内心I、外心O共线（欧拉--彭色厉--大狗熊线），三角形作彭色列闭合变换时，五心位置恒定不变。（备注：三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I）图5（彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变） （三角形在圆中圆中，作彭色列闭合变化时候，切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G不变，非常奇妙的发现，作业：作图试试切点三角形的垂心H，九点圆圆

4、心V，重心G，是不是雷打不动啊）谢国芳定理，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。 大狗熊定理，双圆锥曲线的内接外切三角形时候，切点三角形的五心恒定不变。谢国芳定理和大狗熊定理，揭示了彭色列闭合定理的神秘面纱，找到了命题本质。工程应用成果：利用欧拉—彭色列--大狗熊线恒定不变特性的摄像机和精密测量仪器标定        （变化中发现了不变的本质）二、欧拉--彭色厉--大狗熊线的简证欧拉--彭色列闭合变化作图发现，有许多有趣的特性。（ΔABC为基本三角形，ΔA1B1C1为切点三角形，ΔA2B2C2为垂足三角形）1、ΔA2B2C2为垂

5、足三角形与三角形ΔABC是具有位似关系2、基本三角形构成的六边形与垂足三角形构成的六边形具有位似关系（黄色）。3、基本三角形彭色列闭合变化，发现了大量的平行线关系4、位似中心S点，也在欧拉—彭色列--大狗熊线上，彭色列闭合变化时不变。5、位似中心S点就是基本三角形ΔABC外接圆和内切圆的位似中心S点图5（彭色列闭合变换时位似中心现象）1）潘成华老师的研究发现思考：可以直接做题证明（也许高中小朋友看不懂重心证明方法啊）依据欧拉线，可改为外心O（大圆）、内心I（小圆）、垂心H（切点三角形的）共线题目。2）1995伊朗奥数竞赛的题目（备注，垂足三角

6、形ΔPQR的外心J点，就是切点三角形ΔDEF的九点圆心V点）3)彭色列闭合定理（N=3）的位似中心S点位似中心在基本三角形ΔABC的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。同理：位似中心在基本三角形ΔDEF的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。（备注：外接圆和内切圆也具有位似关系，位似中心也在S点）  （备注：外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）  （备注：外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）。所以，外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化，位似比相同位似比，位似中心S点在五心狗熊线上，即位似

7、中心S点在五心狗熊线共线。彭色列闭合变换（N=3）时，两者位似中心S点重合。彭色列闭合变换（N=3）时，中心S点和五心狗熊线恒定不变。欧拉--彭色厉--大狗熊线（增加了位似中心S点共线）4)欧拉—彭色列--大狗熊线的不变特性简证（彭色列闭合变化时）1、位似中心S点在五心狗熊线上，即位似中心S点在五心狗熊线共线。（具体可以参见上述的1995伊朗奥数竞赛的题目）2、彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变方向不变：由于欧拉—彭色列--大狗熊线是五心共线，并且其中二点是不变（三角形内心I、外心O在命题中是固定的），所以，彭色列闭合变

8、换前后，九点圆心V必定在三角形内心I、外心连线方向。半径不变：三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半，由于切点三角形的外接圆是固定的（命题的内切圆），所以，九