一元二次方程全章讲义

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1、一元二次方程Ø知识要点1.一元二次方程1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2）一元二次方程的一般形式：（a≠0）为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。2.一元二次方程的根。1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。例1.如果2是方程的一个根，则常数b是多少？3.解一元二次方程1）直接开平方法（1）若一元二次方程易写为形式，当p＞0时，则，例2.解下列方程一元二次方程一

2、元二次方程一元二次方程（2）若一元二次方程可写为形式，当p=0时，（3）若一元二次方程可写为形式，当p＜0时，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，等式都不成立，即原方程无实数根。一元二次方程2）配方法（1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。完全平方公式：配成完全平方公式：例3.填空一元二次方程一元二次方程例4.解方程移项两边同时加左边写成完全平方形式配方法解一元二次方程的一般步骤：（一移、二化、三配、四开）1、移项：将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边2、二次项系数化为1：左右两边同时除以二次项

3、系数3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方4、开平方求根：利用平方根的定义直接开平降次，解一次方程，一元二次方程一元二次方程例5.用配方法解下列方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程3）公式法1）任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：（a≠0）则当时，有求根公式。2）推导过程用配方法解：解：移项、二次项系数化为1得配方得为根的判别式即则一元二次方程当时，、；当时，；当时，无意义，方程无实数根。3）用公式法解一元二次方程的一般步骤:1.把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；2.求出Δ=的值；3.当Δ＞0时，有两个不相

4、等的实数根，即，；4.当Δ=0时，有两个相等的实数根，即；5.当Δ＜0时，无实数根。例6.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围为_______________.例7.用公式法解下列方程。一元二次方程4）因式分解法解一元二次方程一元二次方程（1）先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求得方程的两个根。（2）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项：将方程的右边化为0；②化积：将方程的左边因式分解，化为两个一次式的乘积；③转化：令每个一次式分别为0，得到两个

5、一元一次方程；④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。（3）因式分解法解一元二次方程的常用方法：①提取公因式法：ab+ac=a（b+c）；②完全平方式法：a2±2ab+b2=（a±b）2；③平方差公式法：a2-b2=a+b（a-b）。例8.用因式分解法解下列方程。4.一元二次方程根与系数的关系（方程（a≠0））根据公式法：，1）两根之和：2）两根之积：一元二次方程例9.已知三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程的两个根，则三角形的周长为________.中考真题1、一元二次方程的根是（

6、）A.-1B.2C.1和2D.-1和22、若x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（）A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-43、等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（）A.27B.36C.27或36D.184、设是方程的两个实数根，则的值为（）A.5B.-5C.1D.-15、用配方法解方程时，配方后所得方程为（）A.B.C.D.6、已知关于x的方程，下列说法正确的是（）一元二次方程A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程只有一个实数解C.当k=-1时，方

7、程有两个相等的实数解D.当k不等于0时，方程总有两个不相等的实数解7、若，且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______。8、已知关于x的方程（m≠0）。求证：方程总有两个实数根。