·《高等数学基础》形考第三次作业参考答案

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1、《高等数学基础》形成性考核册答案《高等数学基础》形成性考核册第三次作业参考答案第四章导数的应用一、单项选择题1、D2、D3、A4、C5、C6、A二、填空题1、极小值2、03、4、5、6、三、计算题1、求函数的单调区间和极值。解：函数的定义域是。求导：令，得或；令，得；因此，单调上升区间为何，单调下降区间为。2、求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值。解：求导数：令，得驻点为；求二阶导数：4《高等数学基础》形成性考核册答案因此，为函数的极小值点。函数没有极大值点。计算并比较函数值：可见，最大值是，最小值是。3、求曲线上的点，使其到点的距离

2、最短。解：设曲线上点坐标为，它到点的距离为求导数：令，得唯一驻点是。根据问题的实际背景可知这是所求的点的横坐标。代入曲线方程，可得。所以，所求的点为何。4、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如右图所示，设底面半径为，高为，体积为。则上底中心到下底边沿的距离为计算体积：令，求得唯一驻点为4《高等数学基础》形成性考核册答案。根据问题的实际意义可知，这个值即为所求。此时，所以，当底面半径为，高为时体积最大。5、一体积为的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：如右图所示，设圆柱体的底面半

3、径为，高为，表面积为。根据条件知该圆柱体的体积为：表面积等于上、下底的面积与侧面积的和，因此令，得唯一驻点为。根据问题的实际意义知驻点即为所求结果。代入可求得。所以，底面半径为，高为时圆柱体的表面积最小。6、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底面边长为米，高为米，表面积为平方米。根据条件，体积：。表面积等于底面面积加四个侧面面积：令，求得唯一驻点为（米），根据问题的实际意义可知，这就是所求的底面边长。此时，（米）。4《高等数学基础》形成性考核册答案所以，底面边长为5米，高2.5米时用料最省。四

4、、证明题1、当时，证明不等式证明：令，则在上连续，在内可导。由于因此，函数在上是单调上升的，即当时有所以命题成立。2、当时，证明不等式。证明：令，则在上连续，在内可导。由于因此，函数在上是单调上升的，即当时有所以命题成立。4