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1、考研数学助手您考研的忠实伴侣1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一、填空题t⎧x=etsin2（1）曲线⎨在点()0,1处的法线方程为.t⎩ye=cos2t【答】yx+−=210【详解】根据参数方程的求导公式，有ttdyecoste−sint=,ttyxesin2t+2cos2et与xy==0,0对应t=0，dy1故
2、x=0=，从而在点()0,1处的法线的斜率为-2，法线方程为dxy=12yx−=−120,()−即yx+−=21023dy（2）设函数yyx=()由方程ln()x+=+yxyxsin确定，则
3、=.dxx=0
4、【答】1.【详解】方程两边同时对x求导，视y为x的函数，得'2xy+23'=++3cxyxyosx2xy+由原方程知，x=0时y=1，代入上式，得'dyy
5、
6、==1.xx==00dxx+5（3）dx=.∫2xx−+613132x−【答】ln()x−++6xC134arctan+.222x+51dx(−+61x3)8dx=+∫∫∫222【详解】xx−+6132xx−+613xx−+613132x−=−ln()x6xC+13+4arctan+.222⎡⎤x13（4）函数y=在区间⎢⎥,上平均值为.1−x222⎣⎦31+【答】π.122⎡⎤x13【详
7、解】函数y=在区间⎢,⎥上平均值为1−x222⎣⎦322π22xtsin23dxx=⋅sintcostdt∫∫1π31−−1−x231cost26π211⎛⎞=−⎜⎟ttsin2
8、3π31−⎝⎠24631+=π.12'''2x（5）微分方程yye−=4得通解为.−22xx⎛⎞1【答】Ce++⎜⎟Cxe.12⎝⎠4【详解】特征方程为：2λ−=40解得λ==2,λ−212'''故yy−=40的通解为−22xxyCeCe=+122x由于非齐次项为f()xe=，λ=2为特征方程的单根，*2x因此原方程的特解可设为yA=xe，代入原方程，得1A=4故所求
9、通解为*222−xxx1yyyCeCe=+=++xe1124−22xx⎛⎞1=++Ce⎜⎟Cxe12⎝⎠4二、选择题⎧1cos−x⎪,0x>（1）设fx()=⎨x其中gx()是有界函数，则f(x)在x=0处⎪xgxx2(),0≤⎩（A）极限不存在.（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导.【】【答】应选（D）【详解】因为'fxf()−()01cos−xf()00lim+==lim=0,+−3xx→→00xx22'fxf()−()0xgx()fg()00−=lim=limlim()xx=0,−−−xx→→00xxx→0可见，f()x
10、在x=0处左、右导数相等，因此，f(x)在x=0处可导，故正确选项为(D).15sxxsintint（2）设αβ()x==∫∫dt,1()x(+tdt),则当x→0时，α(x)是β()x的00t（A）高阶无穷小；（B）低阶无穷小；（C）同阶但不等价的无穷小；（D）等价无穷小.【】【答】应选（C）【详解】因为5xsintxsin5α()x∫0txdt55lim==lim5lim=≠111xx→→00β()xsinxx→0e()1+tdttx()1sin+⋅xxsincos∫0故α()x是β()x的同阶但不等价的无穷小.因此正确选项为（C）.（3）
11、设f()x是连续函数，Fx()是其原函数，则（A）当f()x是奇函数时，Fx()必是偶函数.（B）当f()x是偶函数时，Fx()必是奇函数.（C）当f()x是周期函数时，F(x)必是周期函数.（D）当f()x是单调增函数时，F(x)必是单调增函数.【】【答】应选（A）x【详解】f()x的原函数F()x可以表示为Fx()=∫ftdtC()+,于是0−xxFx()−=∫∫ftd()tC+=−utfuduC()()−−+.00当f()x为奇函数时，f()−=−uf(u)，从而有xFx()−=∫fud()uC+0x=+∫f()tdtCFx=()0即Fx
12、()为偶函数.故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：213f()xx=是偶函数，但其原函数Fx()=x+1不是奇函数，可排除（B）；3211f()xx=cos是周期函数，但其原函数Fx()=+xsin2x不是周期函数，可排除（C）；2412f()xx=在区间()−∞+∞内是单调增函数，但其原函数Fx()=x在区间()−∞+∞内非2单调增函数，可排除（D）.（4）“对任意给定的ε∈()0,1，总存在正整数N,当nN≥时，恒有x−α≤2ε”是数列{x}nn收敛于α的（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件；（
13、C）充分必要条件；（D）既非充分条件又非必要条件；【】【答】应选（C）【详解】由数列{x}收敛于α⇒“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在正整数N当nN
