第2章《圆锥曲线与方程-2-1-2-3-4-5

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.2.1》导学案(1)教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆，把一个圆压扁了，也像椭圆，它们究竟是不是椭圆呢？是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质)，那么又该如何研究椭圆的性质呢？回忆解析几何研究问题的基本方法，研究椭圆，先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时

2、，动点M的轨迹是线段F1F2；　　当MF1+MF22c).以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(如图1)，则F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0).(图1)设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，即+=2a.[2]将这个方程移项后两边平方，得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x

3、-c)2+y2，即a2-cx=a.两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c2>0，所以可设a2-c2=b2(b>0)，于是得b2x2+a2y2=a2b2，两边同时除以a2b2，得+=1(a>b>0).由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点(x，y)都在已知的椭圆上.这样，上面这个方程就是所求椭圆的方程，它的焦点为F1(-c，0)，F2(c，0).　(图

4、2)问题1　如果将椭圆的焦点建立在y轴上，即焦点为F1(0，-c)，F2(0，c)(如图2)，你能快速得出椭圆的方程吗？解法一　两个椭圆关于直线y=x对称，故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x，y互换即可得到方程+=1(a>b>0).解法二　从定义出发，将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0)，于是得a2x2+b2y2=a2b2，两边同时除以a2b2，得+=1(a>b>0).所以，当焦点在y轴上时，我们可以得到焦点为F1(0，-c)

5、，F2(0，c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2　如何判断椭圆标准方程中焦点的位置？解　看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大，焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习　求下列椭圆的焦点坐标:(1)+=1；(2)16x2+7y2=112.[规范板书]　解　(1)c2=25-16=9，所以c=3，故焦点坐标为(-3，0)和(3，0).(2)方程可化为+=1，所以c2=16-7=9，所以c=3，故焦点坐标为(0，-3)和(0，3).[题后反思]　

6、求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、数学运用【例1】　已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围.(见学生用书P17)[处理建议]　引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.[规范板书]　解　因为椭圆焦点在x轴上，故所以7

7、k<10且k≠7.[题后反思]　学生可能会进行分类直接得到结果，亦可能用上述方法解答，但会忽视第三个条件，此时不妨反问:若k-4>0，10-k>0，k-4=10-k，则方程表示的曲线是什么？答:圆.[3]【例2】　(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；(2)b=1，c=；(3)两个焦点分别是F1(-2，0)，F2(2，0)，且过点P(2，-3).(见学生用书P18)[处理建议]　引导学生首先分析焦点的位置，然后再找出标准方程中a，b的值.[规范板

8、书]　解　(1)因为焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为b=1，c=，所以a2=b2+c2=16，①当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为+y2=1；②当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为+x2=1.(3)由题意知椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]　椭圆的标准方程中只有两个参量，因此只需要两个条件就可以