第2章 《圆锥曲线与方程-2-1-2-3-4

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.2-2.2.2》同步练习一、填空题1．x2＋2y2＝2的上顶点坐标是________．【解析】　将方程x2＋2y2＝2化为：＋y2＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴b＝1.∴上顶点坐标为(0，1)．【答案】　(0，1)2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长为________、短轴长为________、离心率为________．【解析】　方程可化为：＋＝1，∴2a＝10，2b＝6，e＝＝.【答案】　10　6　3．(2013·宿迁高二检测)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭

2、圆C的方程为________．【解析】　因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.【答案】　＋y2＝14．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．【解析】　依题意，得b＝3，a－c＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝＝.【答案】　5．(2013·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

3、【解析】　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵AB过F1且A、B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为

4、AB

5、＋

6、AF2

7、＋

8、BF2

9、＝

10、AF1

11、＋

12、AF2

13、＋

14、BF1

15、＋

16、BF2

17、＝4a＝16，∴a＝4.又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.【答案】　＋＝16．设AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则

18、F1A

19、＋

20、F1P1

21、＋

22、F1P2

23、＋…＋

24、F1P99

25、＋

26、F1B

27、的值

28、是________．【解析】　由椭圆的定义及其对称性可知，

29、F1P1

30、＋

31、F1P99

32、＝

33、F1P2

34、＋

35、F1P99

36、＝…＝

37、F1F49

38、＋

39、F1P51

40、＝

41、F1A

42、＋

43、F1B

44、＝2a，F1P50＝a，故结果应为50×2a＋

45、F1P50

46、＝101a.【答案】　101a7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．【解析】　设P(x0，y0)，则＋＝1即y＝3－，又因为F(－1，0)，∴·＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2，2]，∴·∈

47、[2，6]．∴(·)max＝6.【答案】　68．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．【解析】　由题意知以F1、F2为直径的圆在椭圆内部，∴c＜b，即c＜.∴()2＜.∴e＜.∴e∈(0，)．【答案】　(0，)二、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝.【解】　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1

48、(a>b>0)，由题意知＝2，即a＝2b，且c＝2，由a2＝b2＋c2，解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，∴点A是短轴的端点．∴

49、OF

50、＝c，

51、AF

52、＝a＝3.∴＝.∴c＝2，b2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.10．(2013·徐州高二检测)若椭圆＋＝1(k∈R)的离心率为e＝，求k的值．【解】　当焦点在x轴上时，a2＝k＋2，b2＝4，∴c2＝k－2，∴e2＝＝＝，∴k＝.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋2，c2＝2－k，∴e2＝＝＝，∴k＝.故k＝或.11．过椭

53、圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，被M点平分，求此弦所在直线的方程．【解】　法一　由题意，易知直线的斜率必存在．设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上面方程的两个根，∴x1＋x2＝，∵M为弦AB的中点，∴2＝＝，解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，

54、y1＋y2＝2.又A、B在椭圆上，即两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，则(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.∴所求直线方程为x＋2y－4＝0.法三　设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，由于中点为