[自然科学]montecarlo

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1、蒙特卡罗模拟方法MonteCarlo模拟方法在金融工程中的应用引言蒙特卡罗模拟方法一、蒙特卡罗方法概述二、蒙特卡罗方法模型三、蒙特卡罗方法的优缺点及其适用范围四、相关案例分析及软件操作五、问题及相关答案MonteCarlo方法的发展历史早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。从方法特征的角度来说可以一直追溯到18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著名的蒲丰问题。1707-17881777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事先没有给客人讲与π有关的

2、事。客人们虽然不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他们共投针2212次，其中704次相交。蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人们惊喜不已。例．蒲丰氏问题设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述，x为针中心的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是针在平行线间的位置一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)18505000

3、3.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.141592920世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学家冯.诺伊曼（VonNeumann）和乌拉姆（Ulam）等提出蒙特卡罗模拟方法。由于当时工作是保密的，就给这种方法起了一

4、个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。美国洛斯阿拉莫斯国家实验室这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。MonteCarlo方法创始人主要是这四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和NicholasMetropolis。StanislawMarcinUlam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与

5、曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用MonteCarlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；EnricoFermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；JohnvonNeumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；NicholasMetropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家

6、，这个人对MonteCarlo方法做的贡献相当大，正是由于他提出的一种MCMC算法，才使得MonteCarlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是MonteCarlo方法。图片1：NicholasMetropolis图片2：StanislawMarcinUlam图片3：EnricoFermi图片4：JohnvonNeumann蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由蒲丰试验可以看出，当所求问

7、题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)

8、，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值作为积分的估计值（近似值）。计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针问题）化为数学问题，在计算机上实现。模拟程序l=1;d=2;m=0;n=10000fork=1:n;x=unifrnd(0,d/2);y=unifrnd(0,pi);ifx<0.5*1*sin(y)m=m