[理学]西南交通大学概率教案11考研必备

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1、§4.1数学期望一、数学期望的概念二、随机变量的函数的数学期望三、数学期望的性质一、数学期望的概念1、离散型随机变量的数学期望引例1分赌本问题(产生背景)A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元。由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负

2、B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例2射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频

3、率解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1.1设离散型随机变量X的分布律为为X的数学期望，亦称为概率均值，简称均值或期望。分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同。(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值

4、,故也称均值。(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变。随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值。当随机变量X取各个可能值是等概率分布时，X的期望值与算术平均值相等。例1.1甲乙两射手打靶，击中的环数分别为X、Y，其分布律为试评定他们的成绩好坏。X78910pk0.20.30.40.1Y78910pk0.30.50.10.1例1.2某公共汽车站每天8:00～9:00,9:00～10:00

5、都有一辆客车到站,可到站时间随机,且两次到站时间相互独立,其规律为:(1)一旅客8:00到站,求其候车时间的数学期望。(2)一旅客8:20到站,求其候车时间的数学期望。到站时刻概率解：设旅客的候车时间为X分钟(1)X的分布律为:(2)X的分布律为:故,候车时间的数学期望为故,候车时间的数学期望为2、连续型随机变量的数学期望定义1.2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分为X的数学期望,简称期望或均值。例1.3设连续型随机变量X的概率密度为试求E(X)。例1.4设连续型随机变量X的概率密度为试求E(X)。(1)若将5个电子装置

6、串联组成整机，求整机寿命N的期望。(2)若将5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M的期望。例1.5有5个相互独立工作的电子装置,其寿命Xk(k=1,2,3,4,5)服从同一指数分布,其概率密度为(1)N=min(X1,X2,…,X5)的分布函数为(2)M=max(X1,X2,…,X5)的分布函数为二、随机变量函数的数学期望1、离散型随机变量的函数的期望例1.6设X的分布律如下表，试求Y=X2–1的期望。X–2–101pk1/41/81/21/8解：法一：先求Y=X2–1的分布律为Y=X2–1–103pk1/21/41/42、连续型随

7、机变量的函数的期望例1.7设风速V在(0,)上服从均匀分布,又设飞机机翼所受的正压力为W=kV2(k>0常数),试求W的数学期望。例1.8游客乘电梯从底层到电视塔观光,电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,55分钟从底层起行,假设一游客是在早上8点第X分钟到达底层电梯处,且X在[0,60]上服从均匀分布,试求该游客等候时间的数学期望。解：已知X~U[0,60]，其概率密度为再设Y={游客等候电梯的时间(分钟)}，则有例1.9国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000,4000](单位：吨)上服从均匀分布，

8、若每售出一吨，可获利3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？所以，组织3500吨货源时，平均收益最大。解：应组织a吨货源，则收益为3、多维随机变量的函数的期望注1：上二式中的级数与积分