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《【9A文】数值分析典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第一章典型例题例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。ln2»0.693第二章典型例题例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解R3=－1,R2=1,R1=1,原线性方程组的解为R＝(1,1,－1)T例2取初始向量R(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式(k=1,2,3,…)第1次迭代,k=0R(0)＝0，得到R(1)＝(1,3,5
2、)T第2次迭代，k=1R(2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k=2【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】R(3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k=3R(4)＝(1,1,1)T例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为A＝于是D＝D－1＝D雅可比迭代矩阵为B0＝得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯－赛德尔迭代矩阵为G＝－＝－解得特征根为l1=0，l2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。【MeiWei
3、_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】例5填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。答案：解答选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2R1+2R2+3R3=3，消元得到是应填写的内容。3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中＝(k=0,1,2,…)答案：解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求R2的值时应该用上R1的新值。第三章典型例题例1已知函数R=f(R)的观察数据为Rk－2045Rk51－31试构造拉格朗日插值多项式Pn(R)，并计算f(－
4、1)的近似值。[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]解先构造基函数所求三次多项式为P3(R)=【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】＝＋－＋＝f(－1)»P3(－1)＝例3设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明：(1)(2)证明(1)Pn(R)=R0l0(R)+R1l1(R)+…+Rnln(R)=当f(R)º1时，1＝由于，故有(2)对于f(R)=Rm,m=0,1,2,…,n，对固定Rm(0£m£n),作拉格朗日插值多项式，有当n>m－1时，f(n+1)(R)=0，Rn(R)=0，所以
5、注意：对于次数不超过n的多项式,利用上结果，有==上式正是Qn(R)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(R)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】解计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是kRkRkRkRk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5解得a0=2.45,a1=1.25。所求拟
6、合直线方程为R=2.45+1.25R例6选择填空题1.设R=f(R),只要R0,R1,R2是互不相同的3个值，那么满足P(Rk)=Rk(k=0,1,2)的f(R)的插值多项式P(R)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A)(B)f(R,R0,R1,R2,…,Rn)(R－R1)(R－R2)…(R－Rn－1)(R－Rn)(C)(D)f(R,R0,R1,R2,…,Rn)(R－R0)(R－R1)(R－R2)…(R－Rn－1)(R－Rn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。第四章
7、典型例题例1试确定求积公式的代数精度。[依定义，对Rk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]解当f(R)取1,R,R2,…时，计算求积公式何时精确成立。(1)取f(R)=1,有左边＝,右边＝(2)取f(R)=R,有左边＝,右边＝(3)取f(R)=R2,有左边=,右边=(4)取f(R)=R3,有【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】左边=,右边=(5)取f(R)=R4,有左边=,右边=当k£3求积公式精确成立，而R4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。例5试确定求积公式中的参数a，并证明
8、该求积公式具有三次代数精度。解公式中只有一个待定参数a。当f(R)=1,R时，有,即h=h,不能确定a，再令f(R)=R2,代入求积公式，得到,即得.求积公式为将f(R)=R3代入上求积公式，有可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再
