流图的反馈回路结构分析方法

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1、万方数据第36卷第2期数学的实践与认识voI．36No．22()06年2月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYFeb．，2006流图的反馈回路结构分析方法黄志坚1’2，贾仁安1，吴健辉1’2(1．南昌大学系统工程研究所．江西南昌330047)(z．景德镇高等专科学校数学系．江西景德333000)摘要：运用系统动力学研究复杂系统．通常必须了解该系统的流图的反馈回路的结构，而目前计算反馈回路的方法比较复杂．通过将强简化流率基本人树的每棵树转换成树向量．树向量构成矩阵．并定义矩阵相关元素的运算．可比较简单地算出流图的各阶反馈回路的条数．

2、从而揭示流图的反馈回路结构的性质．关键词：流率基本人树：强简化流率基本人树；反馈回路；流图；矩阵O前言系统动力学是美国麻省理工学院斯隆管理学院福瑞斯特教授创建的一种研究系统结构的重要方法．该方法主要着眼于系统内部的组织结构、物质流动、信息流动以及它们所形成的反馈结构。并由此来构造系统的动态模型，进而解释系统动态行为，它强调系统的结构决定系统的行为．它主要通过研究系统中的不同子系统之间的作用和反馈，进而揭示系统的整体涌现性和复杂性．而研究不同子系统之间的反馈主要是确定不同子系统之间的反馈回路，目前研究流图的反馈回路结构的方法主要是通过建立流率基本人树模型，

3、然后采取图示法和枝向量行列式等计算法，这些方法都能给出各阶反馈回路的条数和具体各阶回路是由那些变量组成，但如果我们只想知道反馈回路的条数结构，而不要知道各阶反馈回路具体是由那些变量组成时，上述的方法就有些复杂．下面我们通过将强简化流率基本人树的每棵树转换成树向量，由树向量组成整个系统流图的矩阵，并定义矩阵相关元素的运算，可以比较简单地算出流图的各阶反馈回路的条数，进而了解整个系统流图的反馈回路的结构．1相关概念和计算方法定义l若，∈71，一个动态有向图丁(￡)一(矿(，)，X(f))中，存在一个点u(，)∈V(f>，使丁(，)中的任何一点zc(f)∈y(

4、f)，有且仅有一条由zc(f)至口(￡)的有向道路，则称此有向图71(z)为一颗人树，且秽(f)成为树根，满足人度∥一(“(f))一。的“(f)称为树尾，从树根至树尾的一条有向道路成为一根树枝．定义2在系统动力学流图中，以流率为树根，以流位为树尾的入树丁(￡)称为流率人树．流率入树71(f)中含流位的个数称为人树的阶数．从树尾沿一枝至树根含流位的个数称为这枝的枝阶长度．全流率入树最大枝阶长度称为该人树的阶长度．定义3各枝阶长度为1的流率人树称为流率基本人树(见实例图1)．定义4若D一(V，X，F)是一个因果关系图，按流线和变量分类概念变换后得其顶点收稿日

5、期：2005一07一19万方数据2期黄志坚，等：流图的反馈回路结构分析方法285集y一{L，fL，为流位变量，i=1，2，⋯，m)U{R，IR，为流率变量，?=1，2，⋯，，2}U{AjA，为辅助变量，i—l，2，⋯，是}U(S，IS。为增补变量，i一1，2，⋯，g}U(E，fE，为外生变量，一1，2，⋯，／‘)U{以，l以i为常量，i=1，2，⋯，g}，其因果链集X一{五Jt为两变量间的物流线，i∈Ⅳ，)U{z，1．z』为两变量间的信息流线，歹∈Ⅳ：)，则D一(y，X，F)称为流图，并记为G一(Q，E，F)流图中任何一个子图称为半子流图．定义5已知f∈

6、丁，半子流图Gl(f)=(Q1(f)，E1(￡)，Fl(f))，G2(f)=(Q2(f)，E2(f)，F2(f))．则：1)作G。(f)UG：(￡)，且保持F，(f)、F。(￡)确定的映射关系．。2)若流率R。(f)及其对应流位在G，(￡)(i一1，2)中，则在1的基础上再增加一条弧，构成因果链尺，(f)一L，(f)，同时给出实际意义下的因果链极性．由l、2得到一个新的半子流图G(f)，定义这种运算为嵌运算，嵌运算符号为叮，则G(f)一Gl(f)UG2(￡)．性质1任何含押个流率元素的系统动力模型，都可用它的胛个流率基本人树作嵌运算生成此系统动力学模型的

7、整个流图(参见文献[1]67页)．引进嵌运算定义的系统动力学流率基本人树模型和其流图模型具有当且仅当关系．通过实例图1的五棵流率基本人树作嵌运算，可得流图G(￡)(见实例图2)．定义6删掉流率基本人树丁，(￡)，丁：(f)，⋯，丁。(f)中全部非重复辅助变量顶点，并仍按原方向联成关联弧的过程称为流率基本入树模型的强简化变换，经强简化变换所得的模型称为原模型的强简化流率基本人树模型(见实例图3)．定义7设流率基本人树模型71，(f)，丁：(t)，⋯，丁。(f)嵌成的结构流图为G(f)，其强简化流率基本人树模型丁，(f)，71：(￡)，⋯，丁。(￡)嵌成的结

8、构流图为G(f)，则称G(f)为G(f)的强简化流图．定理l流图G(f)与其强简