[信息与通信]多维信号处理第二章

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1、多维数字信号处理主讲：陈绵书第二章多维信号的离散傅里叶分析研究内容研究多维离散傅里叶变换（DFT），考察其与傅里叶变换之间的关系；研究计算有限区域序列的离散傅里叶变换的几个FFT算法。多维DFT的两个要点是有限区域序列的一种准确的傅里叶表示，也是多维周期序列的傅里叶级数展开；变换存在潜在的周期性，可以开发有效算法。7/22/20212图像与视频处理实验室2.1矩形周期序列的离散傅里叶级数表示矩形周期序列满足条件其中和是正整数。满足上式最小的和称为序列的水平周期和垂直周期。基本周期7/22/20213图像与视频处理实验室2.1矩

2、形…表示（续1）二维离散傅里叶级数展开复正弦是矩形周期的，水平周期为垂直周期为为傅里叶级数系数7/22/20214图像与视频处理实验室2.1矩形…表示（续2）周期序列的傅里叶级数与傅里叶变换的不同周期序列没有傅里叶变换，不是绝对可和；傅里叶级数系数公式上下限有限，且频率是整数；离散傅里叶级数是可计算的变换。7/22/20215图像与视频处理实验室2.1矩形…表示（续3）例有周期序列，，，，，，确定离散傅里叶级数的系数。解7/22/20216图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换定义有限区域序列生成周期序列有限区域序列，支撑

3、区为，则可以生成周期序列同时有将周期序列看成有限区域傅里叶级数系数序列的周期延拓7/22/20217图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续1）同时有和可以通过下式计算7/22/20218图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续2）离散傅里叶正变换离散傅里叶逆变换7/22/20219图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续3）傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系抽样定理空域抽样可以表示频域限带信号，如果频域非限带，则空域抽样的频谱会造成混叠；频域抽样可以表示空域限制信号，如果空域非限制，则频域抽样的时域信号会

4、造成混叠；7/22/202110图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续4）M维离散傅里叶变换定义M维序列，其支撑区为令对角矩阵则M维DFT为7/22/202111图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续5）例计算以下点阵的三维DFT解可以表示为令则7/22/202112图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续6）7/22/202113图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续7）例计算点阵的二维离散傅里叶反变换其中，解7/22/202114图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续8）7/2

5、2/202115图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续9）离散傅里叶变换的性质线性如果与是任意有限区域序列，且和是任意复常数，则支撑区的确定若的支撑区为，的支撑区为，令，7/22/202116图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续10）定义两个区域已增大的序列为序列和的支撑区为，且7/22/202117图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续11）循环移位若一个有限区域序列循环移位，则DFT要乘上一个复指数考虑周期序列，水平周期，垂直周期，离散傅里叶级数系数。令是的移位序列则和的离散傅里叶级数系数的关

6、系为7/22/202118图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续12）则定义的循环移位序列为即其中表示整变量对取模运算。循环移位：从支撑区左边（或顶部）移出的抽样值，又重新出现在右边（或底部）。7/22/202119图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续13）DFT定义为循环移位离散傅里叶变换对为7/22/202120图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续14）实的对称性如果是实的，则有其中表示复共轭运算。因为所以是Hermitian对称的7/22/202121图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里

7、叶变换（续15）对于复有限区域序列，定义Hermitian对称分量和反对称分量由于则可得7/22/202122图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续16）反射性如果则Parseval定理7/22/202123图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续17）对偶性如果则证明调制性7/22/202124图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续18）循环卷积定义有两个有限区域序列和，支撑区是序列满足令是点DFT，表示为问题是如何确定7/22/202125图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续19）讨论

8、：考虑所有序列的周期延拓由于离散傅里叶级数反变换得由于所以7/22/202126图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续20）由于所以称是与的循环卷积另一种形式二维循环卷积运算符7/22/202127图像与视频处理实验室2.2多维离散傅里叶变换（续21）