第5章第4节 (3)

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1、第五章　第四节1．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)A．圆　　　　　　　　　B．椭圆C．双曲线　　　　D．抛物线解析：选D　由题意知＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，故·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，整理得y2＝x＋6，故点P的轨迹是抛物线．选D.2．已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，则a·b在上的最大值和最小值分别为(　　)A.，－　　　　B.，－C．1，　　　　D．1，－解析：选D　a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.当x∈时，2x

2、－∈，于是a·b在上的最大值和最小值分别为1，－.3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，

3、a

4、＝

5、c

6、，则

7、b·c

8、的值一定等于(　　)A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：选C　

9、b·c

10、＝

11、b

12、·

13、c

14、cosθ＝

15、b

16、·

17、a

18、·sinα＝S▱OACB，故

19、b·c

20、的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．4．(2014·石家庄模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高

21、点与最低点，且·＝0，则A·ω＝(　　)A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.π解析：选C　由题中图象知＝－，∴T＝π，∴ω＝2.则M，N，由·＝0，得＝A2，∴A＝π，∴A·ω＝π.故选C.5．(2014·郑州模拟)已知关于x的一元二次方程a·x2＋b·x＋c＝0，其中a，b，c是非零平面向量，且a，b不共线，则该方程(　　)A．可能有无穷多个实数解　　　B．至多有两个实数解C．至少有一个实数解　　　　D．至多有一个实数解解析：选D　因为a，b不共线，所以可设c＝ma＋nb(其中m，n∈R)，代入方程a·x2＋b·x＋c＝0，得a·x2＋b·x＋ma＋nb＝0，即(x

22、2＋m)a＋(x＋n)b＝0.又a，b不共线，得显然当m>0时，原方程无解；当m≤0且n2＝－m时，方程有唯一解．故选D.6．(2014·合肥模拟)甲船自港口A出发，乙船在离港口A有7海里的B处，正驶向港口A，又得知乙船的速度是甲船速度的两倍，航向构成120°角，则两船的最近距离为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解析：选D　如图所示，设甲船与乙船的速度分别为v,2v，经过t小时，两船分别到达C，D处，得

23、AC

24、＝vt，

25、AD

26、＝7－2vt(0≤t≤)，由于＝－，且与的夹角为60°，所以

27、

28、2＝(－)2＝(7－2vt)2＋(vt)2－2vt(7－2vt)·co

29、s60°＝7v2t2－35vt＋49＝72＋≥，因此，两船的最近距离为海里．选D.7．(2014·西安联考)在△ABC中，·＝1，·＝－3，则的值为________．解析：　由已知·＝－3·⇒BCcosB＝3ACcosA，由正弦定理得sinAcosB＝3sinBcosA，∴＝＝＝.8．(2014·沈阳模拟)若平面向量α，β满足

30、α

31、＝1，

32、β

33、≤1，且以表示向量α，β的线段为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：　由题意知S＝

34、α

35、

36、β

37、sinθ＝，∴sinθ＝≥，又0≤θ≤π，∴≤θ≤，故θ的取值范围为.9．圆C：x2＋y2＝1，直

38、线l：y＝kx＋2，直线l与圆C交于A，B，若

39、＋

40、<

41、－

42、(其中O为坐标原点)，则k的取值范围是________．解析：(－∞，－)∪(，＋∞)　由

43、＋

44、<

45、－

46、知·<0，所以∠AOB为钝角，从而点O到直线l的距离小于.由点到直线的距离公式，得<，解得k<－或k>，故k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．10．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________________．解析：北偏西30°　如图所示，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知

47、

48、＝，

49、

50、＝25.∵＝＋，∴·＝

51、·＋2，∵⊥，∴·＝0，∴25×cos(∠BOD＋90°)＋2＝0，∴cos(∠BOD＋90°)＝－，∴sin∠BOD＝，∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.11．已知向量a＝，b＝，函数f(x)＝a·b－.(1)求y＝f(x)的对称轴方程；(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)的值．解：(1)由已知，得f(x)＝a·b－＝sin2＋sincos－＝＋sin－＝sin－cos＝sin.由－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝2k＋，k∈Z)，所以y＝f(x)的对称轴方程为x＝2k＋(k∈Z)．(2)由