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时间:2019-07-14
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1、3.2弹性应变能密度函数3.2.1弹性应变能密度函数的定义 弹性体受外力作用后,不可避免地要产生变形,同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点,外力所做的功,一部分将转化为弹性体的动能,一部分将转化为内能;同时,在物体变形过程中,它的温度也将发生变化,或者从外界吸收热量,或者向外界发散热量。现分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系,设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S,它所包围的体积为V。以δW表示外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功,δU表示在该微小变形过程中取出部分Σ的内能增量,δK表示动能增量,δQ表示热量的变化(表示为功的单位),根据热力学第一定
2、律,则有δW=δK+δU-δQ 我们首先假设弹性体的变形过程是绝热的,也就是假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程,在这个过程中,荷载施加得足够慢,弹性体随时处于平衡状态,而且动能变化可以忽略不计(这样的加载过程称为准静态加载过程),则根据上式表示的热力学第一定律,外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的,故称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程,所以,卸载后,弹性应变能将全部释放出来。下面,推导单位体积弹性应变能的表达式。 仍以X
3、、Y、Z表示单位体积的外力,表示作用在弹性体内取出部分Σ表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程,可以认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所作的功W包含两个部分:一部分是体力X、Y、Z所作的功W1,另一部分是面力所作的功W2,它们分别为(3.30)以及(3.31) 于是,有(3.32) 因此,外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功δW可以表示为(3.33) 将平衡微分方程(1.66)和静力边界条件(1.68)代入上式,并利用散度定理,上式可化为(3.34) 利用几何方程(2.12),并注意到,最终可推得相应的内能增量δU为(3.35) 定义函
4、数u0(εij),使之满足(3.36) 该定义式称为格林(Green)公式。将它代入式(3.35),有(3.37) 由上式可以看出,函数u0(εij)表示单位体积的弹性应变能,故称之为弹性应变能密度函数(或弹性应变比能函数),简称为应变能。由于弹性应变能密度函数表示弹性体的内能概念,因此,它必然是一个势函数,故也称之为弹性势函数。对式(3.36)取积分,可得(3.38) 这里,u0(εij)和u0(0)分别表示物体变形之后和未变形时的弹性应变能密度。通常,取u0(0)=0,于是有(3.39) 根据格林公式(3.36),假如u0(εij)的具体函数形式能够确定的
5、话,那么,弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这表明,弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。若假设u0(εij)对εij有二阶以上的连续偏导数,则由格林公式(3.36),可进一步推得(3.40) 上式就称为广义格林公式。将式(3.3)代入广义格林公式,可得(3.41) 这就证明了各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。 以上我们讨论的是弹性体的准静态加载过程,如果弹性体在外力作用下处于运动状态,同样可以证明,弹性应变能密度函数仍具有式(3.39)所表示的形式。此外,还可以证明,对于变形过程是等温的情形,弹性应变能密度函数也可以近似地表示为式(
6、3.39)的形式。3.2.2线弹性体的弹性应变能密度函数 对线弹性体,它的应力与应变之间呈线性关系,如式(3.2)所示,因此,由式(3.39)可以发现,弹性应变能密度函数u0(εij)一定是应变张量分量的二次齐次函数。根据齐次函数的欧拉(Euler)定理,有(3.42)代入格林公式(3.36),得(3.43) 这就是线弹性体弹性应变能密度函数u0(εij)的最一般表达形式。对于各向同性弹性体,则有(3.44)或(3.45) 从表达式(3.44)或式(3.45)中可得到一个重要的结论:各向同性弹性体的弹性应变能密度函数恒为正,而且分别为εij和σij的二次齐函数。若将
7、式(3.45)分别对各个应力分量求偏导数,则可推得(3.46) 上式表明:对弹性势函数u0(σij)求各个应力分量的偏导数,就可以得到相应的各个应变张量分量。从弹性应变能密度函数u0(εij)出发,我们还可以求出整个弹性体的总应变能U。设一个弹性体的体积为V,则整个弹性体的总应变能U为,&nbs,p;&,;nbs,p;(3.47) 以下,列出几个各向同性弹性体常用的应变能表达式:3.2.3体变能和畸变能的概念 在介绍体变能和畸变能的概念之前,我们首先对各向同性弹性体的本构方程(3
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