托盘天平佯谬

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1、托盘天平佯谬向右移动右图左盘中的物体（未画出），图中杠杆显然不会保持平衡。但在使用托盘天平测量物体的质量时，物体、砝码在托盘内的位置却并不会影响到天平度量的结果，这是为什么呢？另外，上图中的杠杆的平衡显然不是稳定平衡，而实际中利用托盘天平测量物体的质量时横梁的平衡显然是稳定的。若横梁的平衡不是稳定的，那也就不可能用托盘天平来度量物体的质量了。为何物体、砝码等都在横梁之上，整个系统的重心高高在上，横梁的平衡却仍然是稳定的呢？OADBE仔细观察托盘天平的结构（为简明起见，本文重点分析天平的右侧，图中也只重点画出了天平右侧的内部构造），可以看到如右图

2、所示的两点巧妙的构造（这两点设计都很巧妙，右图仅为托盘天平内部构造的正面竖直投影平面简图，并没能完全展现出其内部的巧妙的构造。要想较彻底地认识这两点构造的精妙，读者有必要仔细观察实物）：一、托盘天平上共有三个刀口，这三个刀口的口锋E、D（只有此刀口的刀锋朝下，栋梁通过此刀口与天平的底座活动相连）、B位于同一条直线DB上。托盘底座并非与第一幅图所示的那样是与横梁固定相连的，它是通过一个吊架与固定在横梁上的一个刀锋朝上的刀口活动相连的。这样，图中的角DBA是可以活动的，不是固定不变的。二、天平底座内有一与DB平行的可绕O点转动的拉杆OA，此拉杆与通

3、过图中右上侧的虚线固定在托盘底座上的竖直杆AB活动相连。这样，图中的角OAB也是可以活动的，也不是固定不变的。由于图中OD＝AB，DB＝OA，这就保证了不论横梁是否平衡，图中的四边形DBAO都是平行四边形。先分析拉杆OA的受力情况。拉杆OA所受的重力显然由支点O与竖直杆AB共同承担。当天平放在水平台上时，因为四边形DBAO始终都是平行四边形，所以竖直杆AB始终与OD平行，也就始终处在竖直线上。以O为支点，将竖直杆对OA施加的力沿竖直和OA两条直线分解，由杠杆原理或力矩平衡条件可推知，拉杆OA平衡时竖直杆对OA施加的力的竖直方向的分力的大小是一定

4、的。由牛顿第三定律可知，若将拉杆OA对竖直杆AB所施加的力沿OA和竖直两个方向进行分解，那在OA杆平衡时那个竖直方向的分力的大小也是一定的。这样，若将上述的竖直方向的分力并入到竖直杆所受的重力之中，且再将托盘、盘中砝码、托盘底座、竖直杆AB视作一个整体，并记作ZT，则在托盘天平正常使用的情况下，ZT受到这样的三个力的作用――竖直向下的重力、拉杆OA施加的沿OA所在直线的拉力或推力以及刀口对之所施加的支撑力。ZT可绕刀锋B转动。拉杆OA施加的沿OA所在直线的拉力或推力的大小与什么有关呢？以刀锋B为转轴分析ZT的平衡。由力矩平衡条件可知，拉杆施加的

5、力的大小等于ZT的重力对刀锋B的力矩的大小与刀锋B到OA的距离的比值。若ZT的重力的作用线刚好通过刀锋B，则此力的大小就等于零。若ZT的重心偏在刀锋的左侧，则拉杆对竖直杆施加的力为拉力；若偏在右侧，则它对竖直杆施加的力就为推力。再来看为何物体在托盘上的位置并不会影响托盘天平的平衡。以ZT为研究对象，由三力平衡条件可知，若将支撑力沿竖直和拉杆OA所在直线进行分解，则竖直方向的分力与重力平衡，另一方向的分力与拉杆OA所施加的力平衡。由牛顿第三定律可知，若将ZT对刀锋B所施加的力沿上述的两个方向分解，则竖直方向的分力F1与重力大小相等，方向相同；另一

6、分力F2与拉杆所施加的力大小相等，方向相同。由于OA与BD平行，因此分力F2的作用线恰好过刀锋D，故而它对横梁绕刀锋D的转动平衡状态没有影响。这就相当于不论ZT的重心偏在哪里，前述的两点构造都确保了将其移至刀锋B上。这样，物体在托盘上的位置也就不会影响横梁绕刀锋D的转动平衡，即不会影响横梁的平衡。下面进一步探讨横梁平衡的稳定性。由托盘天平的操作流程不难看出，若横梁的平衡是不稳定的，那就无法利用托盘天平测量物体的质量。为什么横梁的平衡是稳定的呢？仔细观察横梁的结构，不难发现横梁平衡时单就横梁而言，其重心是位于刀锋D的正下方的。由于将左右刀锋所受的

7、力沿竖直和BD线（注：即使横梁稍微偏离平衡位置后此线并不在水平面上，也并不会影响到前述的结论。事实上，前面分析时也没有假定横梁在水平位置上。）分解后即可看出由于前述的两点构造确保了将左右ZT的重心移至BD线上，因而横梁平衡时左右ZT和横梁的总的重心也是处于刀锋D之下的。也就是说，左右ZT和栋梁作为一个整体就如同一个吊在一根绳下的小球。因此，作为一个整体，横梁的平衡也是稳定的。推论：1、物体与砝码应尽量放在托盘的中心虽然物体与砝码在托盘内的位置对测量的结果几乎没有什么影响，但若它们的质量很大且重心偏离各自所对的刀锋的距离较远，那它们各自所对的刀锋

8、所受的BD线上的分力也就都会很大。这不仅可能会损折刀锋，而且也会影响到刀锋的受力点。若刀锋的受力点发生一点点向侧下的移动，那前述的BD线上的分力对刀锋