基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(IV)

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1、§1.2.2(2)复合函数及其求导普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）1.常见函数的导数公式一.复习引入(C为常数)；2.导数的运算法则一.复习引入法则1.法则2.法则3.特别地（c为常数）注：（1）前提条件是每一个函数存在导数；（2）和与差的导数可推广到任意有限个的情形；（3）商的导数是分子中间为“－”，先对分子求导乘以分母，再减去分母求导乘以分子。一.复习引入例1：设y=xlnx，求y.典例精析课堂练习设求y.例2:（1）求过曲线y=cosx上点P()的切线的直线方程;(2)若直线y=3x+1是曲线y

2、=ax3的切线,试求a的值.典例精析(2)若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.解:(2)设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.所以a•(-1/2)2=1,即:a=4典例精析如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点的坐标与切线方程.解:∵切线与直线y=4x+3平行,∴切线斜率为4.又切线在x0处

3、斜率为y

4、x=x0∴3x02+1=4.∴x0=1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12.∴切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).切线方程为y=4x-12或y=4x-8.=(x3+x-10)

5、x=x0=3x02+1.课堂练习思考如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=3x+2，则y=lnu.即y=㏑（3x+2）可以看成是由y=lnu和u=3x+2经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x

6、的函数.如果把y与u的关系记作y＝f(u)，u与x的关系记作u＝g(x)，复合过程可表示为y＝f(u)＝f[g(x)]＝ln(3x＋2)．如函数y＝(2x＋3)2，是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．1.复合函数:一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).二.新课学习2.复合函数的导数:若y＝f(g(x))，则y＝[f(g(x))]＝f(g(x))·g(x).二.新课学习复合函数y=

7、f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解答问题由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数等于y=㏑u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即例3：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成,并求其导数。典例精析例3:求下列函数的导数:(2)(3)y=tan3x;(4)典例精析课堂练习例4：求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离。解：设曲线在点平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为所求处的切线与2x-y+3=0∵

8、∴∴∴切点为（1，0）∴典例精析课堂练习设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f′(x)=2x+2.求y=f(x)的表达式。典例精析例5：若可导函数f(x)是奇函数，求证：其导函数f′(x)是偶函数.证明：因为y=f（x）是奇函数所以f（x)=-f(-x)两边同时对x求导可得f′(x）=-[-f′(-x）]=f′(-x)（1）已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证：f′(x)为奇函数．证明：（1）由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)．对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，则f′(

9、－x)·(－x)′＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数．课堂练习（2）已知函数y=f(x)是可导的周期函数，试求证其导函数y=f′(x)也为周期函数.证明：（2）设f(x)是一个以T为周期的函数，则有：f(x)=f(x+T)两边同时求导，则有f'(x)=f'(x+T)可知f(x)的导函数仍然是周期函数。1.基本初等函数的导数公式；2.导数的运算法则；3.复合函数的导数.课堂总结课后作业