基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(II)

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1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（第三课时）1.基本求导公式:一、知识回顾：2.导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:解:(1)∵y=3x3+6x,∴y=(3x3)+(6x)例1：求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2);(2)y=(2+x

2、3)2;(2)∵y=4+4x3+x6,(3)y=(x-1)(2x2+1);(4)y=(2x2+3)(3x-2).=9x2+6.∴y=4+(4x3)+(x6)=12x2+6x5.(3)∵y=2x3-2x2+x-1,∴y=6x2-4x+1.(4)∵y=6x3-4x2+9x-6,∴y=18x2-8x+9.例2:求下列函数的导数:答案:例3：已知f(x)的导数f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且f(0)=2a,若a≥2,求不等式f(x)<0的解集.解:∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可设f(x)=x3-(

3、a+1)x2+(a-2)x+b.∵f(0)=2a,∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于a≥2,则当a=2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1);当a>2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(2,a).例4：已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.解:由已知直

4、线l过原点且其斜率k=,x0y0∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.∴=x02-3x0+2.x0y0又y=3x2-6x+2,∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y

5、x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x00).32这时y0=-,k=-.3814∴直线l的方程为y=-x,14切点坐标是(,-).3832注有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义.曲线C在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关

6、系,往往都可解决这类问题.例5：求曲线y=2-x2与y=x3-2的交点处切线的夹角(用弧度数作答).1214解:由y=2-x2与y=x3-2联立方程组解得交点坐标为P(2,0).1214∵y=2-x2的导函数为y=-x,12∴它在P处的切线斜率k1=-2,同理,曲线y=x3-2在P处的切线斜率k2=3,14由夹角公式tan=

7、

8、=1得k2-k11+k2k14=.故两曲线的交点处切线的夹角为.4例6:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),

9、l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.练习1：求下列函数的导数:(1)y=(x2+1)(x-2);(2)y=(x-1)(x3+2x+6).解:(1)∵y=x3-2x2+x-2,∴y=

10、(x3)-(2x2)+(x)-2(2)∵y=x4-x3+2x2+4x-6,=3x2-4x+1.∴y=(x4)-(x3)+(2x2)+(4x)-6=4x3-3x2+4x+4.练习2：一质点作直线运动,它所经过的路程S(单位:m)和时间t(单位:s)的关系是S=3t2+t+1.(1)求[2,2.01]这段时间内质点的平均速度;(2)当t=2时的瞬时速度.解:(1)∵S=32.012+2.01+1-(322+2+1)=0.1303.=0.13030.01∴v=tS=13.03(m/s).(2)∵v=S=6t+

11、1.∴v

12、t=2=13.即当t=2时,质点运动的瞬时速度为13m/s.小结：一、基本初等函数的导数公式表二、导数运算法则四、函数求导的基本步骤：1.分析函数的结构和特征;2.选择恰当的求导法则和导数公式;3.整理、化简得