立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质

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1、重点难点重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用难点：定理的灵活运用知识归纳一、直线与平面平行1．判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点．二、平面与平面平行1．判定方法(1)用定义：两个平面无公共点3．两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例．误区警示1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用．其中线面平行的性质定理是核心，证题时，

2、找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见错误是(1)“两条直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内．2．注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义．3．注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行．应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽

3、视．4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形．一、转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化二、解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．[例1]已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β④若α∥β，m⊂α，则m∥β上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：若m∥α，则m平

4、行于过m作平面与α相交的交线，并非α内任一条直线，故①错；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n，也可能m、n异面，故②错；答案：③④点评：解决这类问题首先要熟悉线面位置关系的各个定理，如果是单项选择，则可以从中先选最熟悉最容易作出判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项．要特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等．(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥

5、mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.答案：B[例2](文)在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.解析：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为

6、BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN∥平面DAE.证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面

7、BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.故四边形AMNP是平行四边形．所以MN∥AP，而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥DAE.证法二：取BE中点G，连结GM、GN，∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又∵GM∥AE，∴平面MGN∥平面DAE，从而证明MN∥平面DAE.∴四边形AGEF为平行四边形，∴AF∥EG，∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连结FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形，∴EG⊥CF.∵四边形ABCD

8、为正方形，∴AC⊥BD.又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.[例3](2010·山东青岛)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．(1)求证：平面AD1E∥平面BGF；(2)求证：D1E⊥平面AEC.证明：(1)∵E，F分别是棱BB1，DD1的中点，∴BE綊D1F.∴四边形BED1F