图论课件第七章图的着色

《图论课件第七章图的着色》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、图论及其应用应用数学学院1第七章图的着色一、图的边着色二、图的顶点着色主要内容三、与色数有关的几类图和完美图四、色多项式五、List着色与全着色10学时讲授本章2本次课主要内容(一)、相关概念(二)、几类特殊图的边色数图的边着色(三)、边着色的应用3现实生活中很多问题，可以模型为所谓的边着色问题来处理。例如排课表问题。(一)、相关概念排课表问题：设有m位教师，n个班级，其中教师xi要给班级yj上pij节课。求如何在最少节次排完所有课。建模：令X=｛x1,x2,…,xm｝,Y=｛y1,y2,…,yn｝,xi

2、与yj间连pij条边，得偶图G=(X,Y).于是，问题转化为如何在G中将边集E划分为互不相交的p个匹配，且使得p最小。如果每个匹配中的边用同一种颜色染色，不同匹配中的边用不同颜色染色，则问题转化为在G中给每条边染色，相邻边染不同色，至少需要的颜色数。4这就需要我们研究所谓的边着色问题。定义1设G是图，对G的边进行染色，若相邻边染不同颜色，则称对G进行正常边着色；如果能用k中颜色对图G进行正常边着色，称G是k边可着色的。正常边着色定义2设G是图，对G进行正常边着色需要的最少颜色数，称为G的边色数，记为：5注

3、：对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。6在对G正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常着色的一个色组。(二)、几类特殊图的边色数1、偶图的边色数定理1证明：设又设Δ=n。设颜色集合设为｛0，1，2，…，n-1｝,п是Km,n的一种n着色方案，满足：7我们证明：上面的着色是正常边着色。对Km,n中任意的两条邻接边xiyj和xiyk。若则

4、：i+j(modn)=i+k(modn),得到j=k，矛盾！所以，上面着色是正常作色。所以：又显然，所以，例1用最少的颜色数对K3,4正常边着色。8定理2(哥尼，1916)若G是偶图，则x2x1x0y3y2y1y0定义3设п是G的一种正常边着色，若点u关联的边的着色没有用到色i，则称点u缺i色。证明：我们对G的边数m作数学归纳。当m=1时，Δ=1，有9设G是具有m条边的偶图。设对于小于m条边的偶图来说命题成立。取uv∈E(G),考虑G1=G-uv,由归纳假设有：这说明，G1存在一种Δ(G)边着色方案п。对

5、于该着色方案，因为uv未着色，所以点u与v均至少缺少一种色。情形1如果u与v均缺同一种色i,则在G1+uv中给uv着色i,而G1其它边，按п方案着色。这样得到G的Δ着色方案，所以：情形2如果u缺色i,而v缺色j，但不缺色i。10设H(i,j)表示G1中由i色边与j色边导出的子图。显然，该图每个分支是i色边和j色边交替出现的路或圈。对于H(i,j)中含点v的分支来说，因v缺色j,但不缺色i,所以，在H(i,j)中,点v的度数为1。这说明，H(i,j)中含v的分支是一条路P。进一步地，我们可以说明，上面的路P

6、不含点u。因为，如果P含有点u,那么P必然是一条长度为偶数的路，这样，P+uv是G中的奇圈，这与G是偶图矛盾！既然P不含点u,所以我们可以交换P中着色，而不破坏G1的正常边着色。但交换着色后，u与v均缺色i,于是由情形1,可以得到G的Δ正常边着色，即证明：112、简单图的边色数引理：设G是简单图，x与y1是G中不相邻的两个顶点，п是G的一个正常k边着色。若对该着色п，x,y1以及与x相邻点均至少缺少一种颜色，则G+xy1是k边可着色的。正常k边着色图Gx1y1xx2xk缺色缺色缺色缺色缺色正常k边着色图G

7、1x1y1xx2xk12定理3(维津定理，1964)若G是单图，则：证明：只需要证明即可。采用对G的边数m作数学归纳证明。当m=1时，Δ=1，设当边数少于m时，结论成立。下面考虑边数为m≥2的单图G。设xy∈E(G)，令G1=G-xy。由归纳假设有：13于是，存在G1的Δ(G)+1正常边作色п。显然G1的每个顶点都至少缺少一种颜色。根据引理知G1+xy是Δ(G)+1可着色的。即证明：注:(1)根据维津定理，单图可以按边色数分成两类图，一是色数等于Δ(G)的单图，二是色数等于Δ(G)+1的单图。(2)维津(

8、Vizing):1937年出生于乌克兰的基辅。1954年开始在托木斯克大学学习数学，1959年大学毕业保送到莫斯科斯特克罗夫研究所攻读博士学位，研究函数逼近论。但这不是他的兴趣所在，因此没有获得学位。1966年在季科夫的指导下获得博士学位。和大多数数学家一样，维津在音乐方面具有一定才能。14维津在攻读博士学位期间，发现并证明了上面的维津定理。他当时把论文投向一家非常著名的杂志，但由于审稿人认为问题本身没有意义而遭到拒绝。后来在