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1、图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、敏格尔定理(二)、图的宽直径相关概念图的宽直径简介(三)、一些主要研究结果简介2敏格尔定理是图的连通性问题的核心定理之一，它是描述图的连通度与连通图中不同点对间的不相交路的数目之间的关系。(一)、敏格尔定理定义1设u与v是图G的两个不同顶点，S表示G的一个顶点子集或边子集，如果u与v不在G-S的同一分支上，称S分离u和v。例如：u6u5u2u3u4u1｛u1,u4｝,｛u1u2,u1u4,u4u5｝分离点u2与u6。3定理1(敏格尔1902---1985)(1)设x与y是图G
2、中的两个不相邻点，则G中分离点x与y的最小点数等于独立的(x,y)路的最大数目；(2)设x与y是图G中的两个不相邻点，则G中分离点x与y的最小边数等于G中边不重的(x,y)路的最大数目。例如：u6u5u2u3u4u1在该图中，独立的(u6,u2)路最大条数是2，分离点u6与u2的最小分离集是｛u1,u4｝,包含两个顶点。4u6u5u2u3u4u1又在该图中，边不重的(u6,u2)路最大条数是2，分离点u6与u2的最小分离集是｛u6u1,u6u4｝,包含两条边。该定理是图论中，也是通信理论中的最著名的定理之一，是由奥地利杰出
3、数学家Menger在1927年发表的。敏格尔(1902---1985）早年显示出数学物理天赋，1920年入维也纳大学学习物理，次年，由于参加德国物理学家HansHahn的“曲线概念的新意”讲座，而把兴趣转向了数学。因为Hans提到当时没有满意的曲线概念定义，包括大数学家康托、约当，豪斯道夫等都尝试过，没有成功。5而且，认为不可能彻底解决。但是，尽管作为几乎没有数学背景的本科生，通过自己的努力，敏格尔还是解决了该问题。由此，他就转向曲线和维数理论的研究。敏格尔本科期间，身体很差，父母双亡。但在1924年在Hahn指导下完成了
4、他的研究工作。1927年做了维也纳大学几何学首席教授，同年，发表了“n—弧定理”，即敏格尔定理。1930年，敏格尔来到匈牙利布达佩斯做访问，当时哥尼正在写一本书，要囊括图论中的所有知名定理。敏格尔向他推荐自己的定理，但哥尼最初不相信他，认为敏格尔定理一定不对，花了一个晚上找反例试图否定敏格尔定理，但没有成功，于是要了敏格尔的证明，终于把敏格尔定理加在了他的著作的最后一节。敏格尔被认为是20世纪最杰出数学家之一。6哈恩(1879～1968)德国物理学家，化学家。最大的贡献是1938年和F.斯特拉斯曼一起发现核裂变现象。哈恩获
5、得1944年诺贝尔化学奖。借助于敏格尔定理，数学家惠特尼在1932年的博士论文中给出了k连通图的一个美妙刻画。这就是人们熟知的所谓“敏格尔定理”定理2(惠特尼1932)一个非平凡的图G是k(k≧2)连通的，当且仅当G的任意两个顶点间至少存在k条内点不交的(u,v)路。证明:(必要性)设G是k(k≧2)连通的，u与v是G的两个顶点。如果u与v不相邻，U为G的最小u--v分离集,那么有
6、U
7、≧k(G)≧k,于是由敏格尔定理，结论成立；7若u与v邻接，其中e=uv,那么，容易证明：G-e是(k-1)连通的。设W是G-e的最小u—
8、v分离集，由敏格尔定理知，G-e至少包含k-1条内点不交的u--v路，即G至少包含k条内点不交的u--v路。(充分性)假设G中任意两个顶点间至少存在k条内部不交路。设U是G的最小顶点割，即
9、U
10、=k(G)。令x与y是G-U的处于不同分支的两个点。所以U是x与y的分离集，由敏格尔定理：
11、U
12、≧k,即证明G是k连通的。例1设G是k连通图，S是由G中任意k个顶点构成的集合。若图H是由G通过添加一个新点w以及连接w到S中所有顶点得到的新图，求证：H是k连通的。证明：首先，分离G中两个不相邻顶点至少要k个，其次，分离w与G中不在S中
13、顶点需要k个顶点。因此H是k连通的。8例2设G是k连通图，u,v1,v2,…,vk为G中k+1个不同顶点。求证：G中有k条内点不交路(u,vi)(1≦i≦k)证明：在G外添加一点w,让w与vi邻接(1≦i≦k)得H.Gv1uv2vkHv1uv2vkw9由例1，H是k连通的，于是由定理2，u与w间存在k条内点不交的u---w路，所以G中有k条内点不交路(u,vi)(1≦i≦k)。对于边连通度，有类似定理：定理3(惠特尼1932)一个非平凡的图G是k(k≧2)边连通的，当且仅当G的任意两个顶点间至少存在k条边不重的(u,v)路
14、。推论对于一个阶至少为3的图G，下面三个命题等价。(1)G是2连通的；(2)G中任意两点位于同一个圈上；(3)G无孤立点，且任意两条边在同一个圈上。10证明：(1)→(2)G是2连通的,则G的任意两个顶点间存在两条内点不交路P1与P2,显然这两条路构成包含该两个顶点的圈。G无孤立点显然。设e1与e2是G
