向量代数与空间解析几何(II)

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1、【向量代数与空间解析几何】习题课一、主要内容二、典型例题分析一、主要内容1、向量代数向量向量的模单位向量零向量自由向量相等向量负向量平行向量向径.加减法数乘.(3)向量的表示法(1)向量的概念(2)向量的线性运算向量的分解式在三个坐标轴上的分向量向量的坐标表示式向量的坐标向量的模与方向余弦的坐标表示式.(4)数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积的坐标表示式两向量平行、垂直的条件.2、空间解析几何(1)空间直角坐标系(2)曲面旋转曲面柱面二次曲面.(3)空间曲线及其方程空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线在坐标面上的投影(4)平面及其方程平面的方

2、程点法式方程.一般方程.截距式方程.(5)空间直线及其方程空间直线的方程一般方程.对称式方程.参数方程.线面关系线线关系夹角点到线面的距离两直线共面的条件.二、典型例题分析题型1向量的运算(1)利用向量的运算求其他向量(如例1~3);(2)利用向量的运算求极限(如例4);(3)利用向量的运算解答几何问题(如例5~8).例1已知向量,,,求一单位向量,使,且、、共面.解设则由题设得解得例2设,,求与的夹角.解即两式相减,得代入上式,得从而例3已知向量,,,求与,同时垂直且在上的投影为1的向量.解同时垂直于而由两向量平行的条件,得解得∴所求向量为例4求极限

3、.解例5设向量,,,求以向量,为邻边的平行四边形的对角线的长.解由向量加减法的平行四边形法则,平行四边形的对角线向量为与,∴所求对角线的长为与,同理例6已知向量,,,解(1)求证(2)当与的夹角θ为何值时△ADB的面积最大?ADCB(1)(2)∴当,即时,△ADB的面积最大.例7证明向量和与的夹角平分线向量共线.证明由平面几何知识可知,向量与的夹角平分线向量就是的单位向量与的单位向量的和,∴向量与共线,即向量和与的夹角平分线向量共线.表示一个数,例8设D,E,F分别为△ABC各边的中点,AD,BE,CF为各边的中线,这三条中线交于G,求证:CABFDE

4、G证明∵与不共线,解得因此即