同济大学《高等数学》(第四版)2-1节导数的概念

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1、一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、导数的定义定义其它形式即★★关于导数的说明：注意:★播放2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.★2.右导数:单侧导数1.左导数:★★★三、由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方

2、程为2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.五、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证连续函数不存在导数举例0例如,注意:该定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π例8解六、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续

3、直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题思考题解答练习题答案2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化

4、率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.