变化率问题、导数的概念

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1、第三章导数及其应用澧县第一中学贺少辉在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10从此式中你能看到运动员的哪些信息呢？几米跳板?距离水面最高是多少？入水时间？起跳初速度多大?2秒时刻速度多大?最大速度又多少？．．．．．．问题引入：微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微

2、积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．第三章导数及其应用变化率问题、导数的概念思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2：通过函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10如何计算运动员在[0,0.5]和[１,２]这两段时间内的平均速度？平均变化率:式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用△x表示x2–x1,用△y表示f(x2)–f(x1),则:直线AB的斜率AB

3、探究：计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？若有问题，那该如何描述运动员的运动状态呢？hto如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知:虽然运动员在这段时间里的平均速度为0，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．△t<0时，在[2+△t,2]这段时间内△t>0时，在[2+△t,2]这段时间内…………△t<0时，在[2+△t,2]这段时间内△

4、t>0时，在[2+△t,2]这段时间内…………问题3：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？导数的定义:一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作:例1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时,原油的温度（单位：）为y=f(x)=x2-7x+15(0

5、）公式:3.求函数在某一点处的导数步骤:一差,二比,三极限.