变化率问题教学(III)

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1、1.1.1变化率问题bianhualvwenti黄流中学数学组周敏人教版选修2-2第一章导数及其应用第1节变化率与导数通过阅读引言我们知道：1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑..微积分的创立者是2牛顿和莱布尼茨.他们都是著名的科学家，我们应该认识一下.牛顿（IsaccNewton,1642-1727)是英国数学家、天文学家和物理学家是世界上出类拔萃的科学家。莱布尼茨(1646--1716)德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人.3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念

2、之一.打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化率就是地基.那么我们这一节课就相当于是“地基”.现在我们就开始“打造地基”姚明身高变化曲线图(部分)2.262.12●●●●●●年龄身高47101316●19220.81.61●●●●●●●问题1气球膨胀率在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是若将半径r表示为体积V的函数,那么当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2L,气

3、球半径增加了气球的平均膨胀率为随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?思考问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。计算运动员在这段时间里的平均

4、速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?探究thO(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均变化率:式子令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.平均变化率的定义：1、式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，△y=0理解3、变式:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?思考xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)例(1)计算函数f(x)=2x+1在

5、区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2△x=-1-(-3)=2练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(D)A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+Δx小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1)

6、;(2)计算平均变化率：再见谢谢指导