浅谈微积分思想

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1、浅谈微积分的极限思想众所周知，微积分学是用来研究微分与积分性质与应用的一个数学分支，微积分学的产生是数学等方面的需要而提出的。其微积分学是数学中的基础分支；内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。历史上许多微积分先行者，如开普勒、费马、沃利斯、伽利略、笛卡尔、巴罗，以及后来的牛顿与莱布尼兹在苦思冥想中产生了一个又一个的思想与方法，最终形成了微积分学。微积分学的发展史和微积分理论表明，“极限思想”是微积分学从产生到发展的最基本的数学思想。假如将微积分的每一概念或定理视为一颗

2、颗大小不一的珍珠的话，那么“极限思想”就如一条横穿珍珠的线绳，将它们有规则地联结了起来使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。微积分包含了很多思想，而极限就是其中一个较为重要的思想之一。所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。无穷分割下的极限思想是微积分思想起源的关键所在，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。1615年，开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，其大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求平面图形面积。我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，其方法也就是我们今天所说的-

3、5-极限思想。刘徽曾说过：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则于圆周合体而无所失矣。”他所说的这些都是对极限思想进行很生动的描述。在现代数学中，极限是分析数学中最基本和最重要的概念,特别在数学分析中,其思想贯穿整个数学分析(微积分)的始终,并且在数学的其他领域中也有着重要作用。极限是用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。因此，微积分学的极限思想，在初等数学向高等数学转化中，显示了数学的真正进步。其中所蕴含的价值在于它的严格性和严密性，既构成了分析数学的基础，成为表达和发展科学及其思想的最有效的工具，同时也为其它学科提供了深刻的思想养分和文化力量，在现代

4、文明和文化的创造中发挥了重大作用。变量数学确定了变量之间的关系——函数关系,伴随着变量的变化,产生了极限概念。所以，极限就是在自变量的某变化过程中,因变量无限接近于某一确定的数,这个数称为在此变化过程中的极限。对于极限这一概念在数学上已给出了确切的描述,变量x与y之间的函数关系y=f(x),当x趋于a时,y以A为极限是指:无论A的邻域V怎样小，总是存在着a这样一个邻域U，使得对除x=a以外的任何x∈U,总有y∈V。数列极限的定义:已知一数列{},以A为极限是指:对于任意给定的Ε>0(不论多么小),必然存在自然数N,使得当n>N时,恒有-A<Ε成立。这一事实记为或→A

5、(n→∞)。函数极限的定义：设函数f(x)在点a的某邻域-5-内有意义，对于任意给定的ε﹥0（不论多么小），必然存在实数δ，使得当0﹤

6、x-a

7、﹤δ时，恒有

8、f(x)-A

9、﹤ε成立，称A为当x→a时f（x）的极限。这一结果记为，或f(x)→A（x→a）。由数列极限和函数极限的定义可以看出：极限作为过程是潜无限的，作为结果是实无限的；极限是过程和结果的统一，也是双相无限的原型。函数极限不是孤立存在的，而是与函数的连续性﹑级数、导数、微分、定积分等相辅相成。例如：“当△X→0时，的极限是否存在？”从表面上看这题虽然求的是极限，但实际上它已经关系到导数的问题上去了，由此可

10、见极限和导数是紧密联系在一起的。在我们预科的学习中我们不难发现；虽然函数极限知识主要在第二章，但在随后的函数的连续性，导数与微分等都用到了函数的极限。例如函数连续的一个证明方法：函数y=f(x)点处连续的充分必要条件：==-5-。又如导数定义的三种表达形式：1、2﹑3、。再如定积分的定义：通过这些例子我们不难发现函数极限不仅体现在我们整个预科的教材中，还体现在我们以后将要学到的多元函数的偏导数、重积分等概念中，甚至整个高等数学的内容中，极限思想自始自终都贯穿于其中。极限在微积分学中更是重中之重，微微积分之所以能够解决初高等数学无法解决的问题，正是因为它采用了极限的思

11、想贯穿与整个微积分的始终，微积分中几乎所有的概念都离不开极限。如：连续，导数，定积分的定义等；在上面的几个例子中都已体现出来。想必大家都知道极限思想的重要性了，但我想说的是在我们的学习中极限思想是我们数学知识的一个工具，我们不但要学懂它还要熟练的应用，这我们的数学才能学得好。有专家说得好：“极限思想好比一栋楼的地基，地基打得好了楼才能越起越高”。这更是说明了极限的重要性。-5-微积分学是一门研究无限的动态学科，而无限的研究结果正是依赖极限思想，通过有限的研究方法得到的。我们只要真正掌握了极限思想，整个微积分学我们就能很好的掌握，并能很好的利用从而去的就高的理论水