资源描述：
《用二重积分计算旋转体的体积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、用二重积分计算旋转体的体积蜀南竹海1作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、最后，举例加以说明。2先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3设D是上半平面内的一个有界闭区域。 将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。D4D在区域D的(x,y)处取一个面积元素它到x轴的距离是y（如图）。该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：（
2、体积元素）于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：5D命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：6D命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：同理7下面针对不同的区域将二重积分化为定积分 得到熟悉的旋转体体积公式8x型区域绕x轴旋转9y=f(x)如果圆片法则D绕x轴旋转的旋转体体积为：10y=f(x)y=g(x)如果则D绕x轴旋转的旋转体体积为垫圈法11y型区域绕y轴旋转12x=f(y)如果则D绕y轴旋转的旋转体体积为：圆片法13x=f(y)x=
3、g(y)如果则D绕y轴旋转的旋转体体积为：垫圈法14x型区域绕y轴旋转！注意：一般教材没有介绍这个公式。15y=f(x)y=g(x)如果则D绕y轴旋转的旋转体体积为：柱壳法16下面看一个极坐标的情形17如果D是曲边扇形：则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：18我们用命题1来推导一个有关区域D的形心(质心)和旋转体体积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravit
4、y.19D上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。古尔丁定理形心A20D形心A如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。21下面来看一般的情形一般的区域&一般的旋转轴22设D是xOy坐标平面内的一个有界闭区域。直线L与D的内点不相交（如图）。 将D绕直线L旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积V。我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。DL23D在区域D的(x,y)处取一个面积元素它到直线L的距离是：该面积元
5、素绕L旋转而成的旋转体的体积约为：于是整个区域D绕直线L旋转而成的旋转体的体积为：设直线L的方程为ax+by+c=0。L24D命题3区域D绕直线ax+by+c=0（D在直线的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：L25下面举几个例子来说明 命题3中的公式的应用所有计算都用数学软件Maple验证了26例1求由y=2x和y=x2所围区域D绕直线y=2x旋转的旋转体体积V。f:=(x,y)->2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x->x^2:y2:=x->2*x:int(f(x,y),y=y1..y2
6、);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);(2*Pi/sqrt(5))*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=(2*Pi/sqrt(5))*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],s
7、caling=constrained);27例2求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线y=x-1旋转的旋转体体积V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y)
8、,y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);28例3求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线y=-x旋转的旋转体体积V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2
