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1、第三章生命年金的精算现值第一节生命年金概述生命年金（生存年金）的概念与种类：生命年金是指按预先约定的金额,以一定的时间为周期绵延不断地进行一系列的给付,且这些给付必须以原指定的领取人的生存为前提条件,一旦原指定的领取人死亡,或预先约定给付期届满时,给付即宣告结束生命年金在人寿保险、退休金体系、残疾保险及抚恤保险中均起着重要作用。如在人寿保险中保险费通常是以生命年金的方式分期缴纳的,在退休金体系中退休金通常是以生存年金的方式分期给付的7/26/20211生命年金的种类离散型与连续型；期初支付与期末支付；即期与延期；终身与定期以及变额生命年金与生命年金。
2、精算现值的计算方法保险金额为1个单位的n年生存保险,其给付保险金现值的期望，称为趸缴纯保费(这是与保险相联的缘故）。而在生命年金中,n年期生存保险的期望现值E(Z)(即建缴纯保费)称为精算现值，"精算"一词意味着除含利率外,还含有死亡率等其他因素7/26/20212在生命年金中,保险金额为1个单位的n年生存保险的精算现值E(Z)用符号nEx表示,即精算现值的计算方法对于生命年金的精算现值,其计算方法有两种:其一是现时支付法,其二是总额支付法现时支付法的计算步骤是:求出时刻t时生命年金的给付数额;确定时刻t时给付数额的精算现值;·对给付年金的精算现值按
3、所有可能的给付时间进行相加或积分。7/26/20213总额支付法的计算步骤是:求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间t内所有年金给付额的现值,这一现值仅与利率有关;将求出的现值乘以相应的死亡概率或概率密度;对第二步得到的结果按所有可能的死亡时间t进行相加或积分.精算现值的两种计算方法是等价的。7/26/20214§3.1连续型生命年金连续型生命年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生命年金。这类生命年金一般地分为定期生命年金、终身生命年金、延期定期生命年金和延期终身生命年金等以终身生命年金为例,考察定额终身生命年金的精算现值。假设(x)按连续方式支付年
4、金额为1元的终身生命年金,其精算现值用符号表示(x)未来寿命T=T(x),则T=T(x)的密度函数是7/26/202157/26/20216为衡量支付连续型的终身生命年金的风险,我们可以考虑支付终身生命年金现值的方差。7/26/20217[例1]设死力是常值μ=0.04,利力δ=0.06,在此假设条件下,求:(1)终身生命年金的精算现值(2)终身生命年金现值的标准差;(3)终身生命年金现值超过其精算现值的概率(所收取的趸缴纯保费将小于支付实际给付年金额为1元的终身生命年金的概率)。解:7/26/202187/26/20219类似地,对于(x)按连续方
5、式领取的年金额为1元的n年定期生命年金,其精算现值用符号表示.利用现时支付法,则7/26/2021107/26/2021117/26/2021127/26/2021137/26/2021143.1.3延期生命年金考虑(x)的延期n年的终身生命年金，这种年金在(x)活过x+n岁的情况下，从x+n岁开始，直到(x)死亡时为止一直以年率1进行支付7/26/202115比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身生命年金”+“n年期定期生命年金”例3-3已知死亡概率在（0.100）上均
6、匀分布，i=4%。年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1）终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金7/26/2021167/26/2021173.1.4n年确定期生命年金n年确定期生命年金是一种保证在前n年一定有支付的终身生命年金。该年金支付的现值随机变量为：7/26/202118例3-5某人x岁，购买了一份10年确定期生命年金，以连续方式给付，每年给付金额为1，已知死亡在（0，30）内均匀分布且ω=x+30，。求该年金精算现值。
7、7/26/2021193.1.5变额年金考虑支付率随时间发生变化的年金。假设连续型生命年金在t时的支付率为g(t)，年金的支付期限为时间区间[a，b]，那么，由支付模式，知这种年金的精算现值为:（1）如果g(t)≡1，a=0，b=n时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的n年期定期生命年金；（2）如果g(t)≡1，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的终身生命年金；（3）如果g(t)≡1，a=n，b=∞时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的n年延期生命年金；（4）如果g(t)=[t+1]，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成了年度递
8、增的连续支付型终身生命年金。7/26/202120（5）如果g(t)≡t，a=0，b=∞时，上述一般年金就变
