函数的最大值与最小值(III)

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1、3.8函数的最大值与最小值第2课时7/23/2021函数的最大值与最小值设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导（1）求f(x)在（a,b）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较：最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：注意：开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.一、复习引入：xOyyf(x)abxOyyf(x)ab（1）如果函数f(x)在[a,b]上单调增加(减少)，则f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值(最大值)

2、，f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值).函数的最值一般分为两种特殊情况：二、讲授新课：xOyf(x0)yf(x)ax0bxOyf(x0)yf(x)ax0b(2)如果连续函数在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a,b]上的最大(小)值.2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最

3、值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解.6060解:设箱底边长为xcm，箱子容积为V=x2h例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱高xxV´=60x－3x²/2令V´=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000当x过小（接近于0）或过大(接近于60)时，V→0,即箱

4、子容积很小。当x=40时,容积最大为16000在实际问题中，如果函数f(x)在某区间内只有一个x0使f´(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大(小)值，那么不必与端点比较，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)hR例2、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值例3、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产

5、量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大.分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.求得唯一的极值点因为L只有一个极值点,所以它是最大值.答:产量为84时,利润L最大.例4、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为10km/h时，燃料费是6元/h；而其他与速度无关的费用为96元/h；问以何种速度航行时.能使行驶每公里的费用总和最少？例5、如图，扇形AOB中，半径0A=1，∠AOB=900，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与

6、弧AB相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB的面积最小？OBDECA注：在实际问题中，若函数在区间内只有一个点使y’=0,如果函数在这点有极值，那么不与端点比较，就可确定这个点就是最值。