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1、2．5函数的最大值与最小值（二）教学目的：进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题。教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．复习引入1、函数的最大值和最小值定理：一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．2、利用导数求函数最值的步骤一般地,设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值
2、,可分为两步进行:①求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值);②将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.在日常生活、生产和科研中，常常会遇到在什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题。——我们已经学过了利用二次函数、均值不等式求最值，今天来学习利用导数解决这类问题。学习新课例1用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？例题讲解解法一：设水箱底边长
3、为xcm，则水箱高cm，水箱容积令＝0，解得x=0（舍去），x=40，求得V(40)=16000当x在(0,60)内变化时,导数V′(x)的正负如下表因此在x=40处,函数V(x)取得极大值,并且这个极大值就是函数V(x)的最大值.答:水箱底边长取40cm时,容积最大,最大容积为16000cm3.-0+(40,60)40(0,40)x解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．以下同解法一.说明:在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在最大值(或最小值),而且f(x)在这个定义域开区间内又只有
4、唯一的极值点,那么可以立即断定,这个极值点的函数值就是最大值(或最小值)(不必与端点的函数值比较).这一点在解决实际问题中很有用.课堂练习：课本P45练习1，2题练习解答：1.把长度为的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成的矩形的面积最大。解：设所围矩形长，则宽为矩形面积求导数得令得列表故时，函数有极大值且是最大值。答：将线段分成相等的四段所围矩形面积最大。课堂练习：课本P45练习1，2题【解题回顾】1.求最大（小）值应用问题的一般方法：分析、联系、抽象、转化数学方法数学结果实际结果回答问题实际问题建立数学模型（列数学关系式）解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。2.
5、在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大(小)值。这里所说的也适用于开区间或无穷区间。【课堂小结】⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决比较简单。作业：P46习题2.5第2，3题。答：产量q为84时，利润L最大。例2已知某商品生产成本C与产量
6、q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入利润令，即，求得唯一的极值点当q<84时,L′>0,当q>84时,L′<0,因此,在q=84处,L取得极大值,并且这个极大值就是L的最大值.
