函数的幂级数展开式

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1、第四节函数的幂级数展开式问题:一、为何将函数展开成幂级数?二、将函数展开成幂级数需要何条件?三、如何将函数展开成幂级数?一、为何将函数展开成幂级数?数学思想:将复杂问题的简单化,用简单的函数表示复杂的函数。复杂的函数简单的函数数学的方法在实际问题中,我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。问题:计算机是如何计算sin(x)的函数值的?二、将函数展开成幂级数需要何种条件?该问题转化为:对任意给定的函数f(x)(2)如果能展开,是什么?(3)展开式是否唯一?(1)在什么条件下才能展开成幂级数?证明(定理1回答了问题二)⒉将函数展开成幂级数需要何种条件?泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒

2、系数定义只要函数f(x)在已知点任意阶可导,f(x)在该点的泰勒级数总是可以写出的,那末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?不一定.即问题:可见在x=0点任意可导,比如洛必达法则证明必要性充分性三、如何将函数展开成幂级数?1.直接法(泰勒级数法)步骤:如条件满足,(2)判定是否成立?例1解例2解例3解:注意:有如下牛顿二项式展开式(展开过程略)双阶乘2.间接法此方法简单易行,效果好,是以后将函数展开成幂级数的主要方法,应重点掌握。例如例:将y=xarctanx展成x的幂级数。若用直接方法,先得求出此函数的各阶导数,还得讨论余项Rn(x)。若用间接方法,就很简便。例4解Ex将

3、函数在和间接展开为泰勒级数。Ex将函数展开成的幂级数。内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时

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