2空气动力学基础-2-3 环量与涡量

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1、空气动力学基础沈阳航空航天大学航空航天工程学院飞机设计教研室2014年3月第2章流体动力学和运动学基础第2章流体运动学和动力学基础2.1描述流体运动的方法2.2流体微团运动的分析2.3理想流体运动微分方程组2.3.1连续方程2.3.2Euler运动微分方程组2.3.3Bernoulli积分及其物理意义2.3.4Bernoulli方程的应用2.4流体运动积分方程组2.4.1Lagrange型积分方程2.4.2Reynolds输运方程2.4.3Euler型积分方程§2.5环量与涡§2.4环量与涡§2.4.1环量与涡的概念研究流动的问题，还有两面个极

2、重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量u,v,w,把线段ds也分解成dx,dy,dz三个方向的三个线段，有：沿曲线AB作速度的线积分沿闭曲线速度的线积分于是环量表达式为：§2.5.1环量与涡的概念如果流动是无旋的，存在位函数Φ，那末上式中的u,v,w都可以用Φ的偏导数表达：说明在无旋流动中，沿着任意一条

3、封闭曲线的速度环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。§2.5.1环量与涡的概念在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合为一个合角速度是：旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量，它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。涡量概念是指流场中任何一点微团角速度之二倍，如平面问题中的2ωz，称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。§2.5.1环量与涡的概念像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定

4、时刻，t为参量）：涡线给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。涡面涡管§2.5.1环量与涡的概念涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中，涡通量就是：在三维空间问题中，涡通量就是：式中的S是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积dS的法线和ω的轴线之间的夹角。nγ空间问题的涡通量平面问题的涡通量涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。§2.5.1环量与涡的概念在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。为说明这个联系，首先考察二维

5、流场。§2.5.2环量与涡量的关系在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。对于微元ABCD，速度环量为§2.5.2环量与涡量的关系绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）上式即为二维问题中的格林公式。表明：沿平面上一封闭围线L做速度的线积分，所得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。§2.5.2环量与涡量的关系如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环

6、量必是零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，就说明围线内无涡通量。推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有限大的曲面S的围线L的环量仍等于S面上各点的二倍角速度与面积点积：§2.5.2环量与涡量的关系展开即：§2.5.2环量与涡量的关系其实这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间的关系。三维流中环量与涡的关系nγ表明：沿空间封闭曲线L的环量，等于穿过张在L上任

7、意曲面S上的涡通量，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有关，无旋时涡通量为零从而沿封闭曲线的速度环量也为零。对于无旋流动还有：说明位函数差的意义是沿线段的速度线积分。§2.5.2环量与涡量的关系一条强度为Γ的涡线的一段dS对线外的一点P会产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。表达涡段所产生的诱导速度的公式是：涡与诱导速度§2.5.2环量与涡量的关系这个dV是一个垂直于线段dS与受扰点P所组成的平面的速度（如图），其值正比于涡强Γ和涡段长度dS，但反比于距离r的平方，另外还要乘上r与ds的夹角的θ的正弦。这个公式在形

8、式上和电磁学的电磁感应的比奥—萨瓦公式一样，仍叫比奥—萨瓦公式。或：§2.5.2环量与涡量的关系现在把一条强度为Γ的直涡线对线外一点所产生的诱导速度写