2015年暑假强化班高数题型方法总结归纳

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1、Day1-2:第一讲函数极限与连续性题型一函数的特性函数奇偶性周期性单调性有界性fx()偶（奇）周期函数，T导函数未必单调如下fx()（条件）奇（偶）周期函数，T单调函数（条件）如下xftdt()偶（奇）未必为周期函数原函数未必单调如下01.关于“函数有界性”与“导数有界性”之间的关系【结论1】若函数fx()在(,)ab上可导，则fx()在(,)ab上有界fx()在(,)ab上有界，反之不真。反例：fx()(xabx)(在)(,)ab上可导且有界，但是，2xabfx()在(,)ab上无界。2(xabx)()逆否命题：fx()在(

2、,)ab上无界fx()在(,)ab上无界【结论2】若函数fx()在(,)上可导，则“fx()在(,)上有界”是“fx()在(,)上有界”的既非充分条件又非必要条件。fx()xsinx，在(,)上可导且无界，但是，fx()1cosx在(,)上有界。22fx()sin(x)，在(,)上可导且有界，但是，fx()2cos(xx)在(,)上无界。【结论3】若函数fx()在[,a)上恒有fx()M0可导，则limfx()。x2.判断函数fx()在区间I上有界的方法：（

3、1）函数fx()在闭区间[,]ab上连续，则fx()在[,]ab上有界。（2）函数fx()在开区间(,)ab上连续，且lim(),lim()fxfx都存在，则fx()在(,)ab上xaxb有界。（3）M0,..stfx()M,xI，则fx()在区间I上有界。（4）导函数fx()在有限区间I上有界，则fx()在区间I上有界。3.判断函数fx()在区间I上无界的方法：谷哥出品，必属经典.新浪微博：谷存昌（1）函数fx()在开区间(,)ab上连续，lim()fxorlim()fx之一不存在，则fx()在xaxb(,)ab上无界。（2）

4、{}xIstfx,..()，(n)，则fx()在区间I上无界。nn题型二求极限1111记住常用的极限：limarctan,limarctan,limeexx,lim0,xx00xx22xx00221xxxxxlim1,lim1,limxx0,lim1,limx1,limxxlim1.xx00xxxx00x0xx1.数列的极限（1）夹逼准则：若存在N，当nN时，yxz，且limylimza,则limxa.nnnnnnnnn主要用于：n

5、项和或者n项积求极限；（2）单调有界准则：a单调，且有界，则limaa存在.nnnn1i1（3）定积分的定义：limffxdx.nnn0i1（4）转化为函数的极限：设xfn()，则limxlim()fnlimfx().nnnnx2.函数的极限葵花宝典：先定型，再化简，后定法！000见招拆招：“先定型”7种未定式,,0,,1,,00“再化简”fxgx()()fx()（1）若lim()gxk0，则limklim。hx()hx()（2）等价无穷小替换。1（3）变量替换（tx

6、t,,tx,...）x2（4）通分，有理化等“后定法”0（1）：a.利用等价无穷小量替换；b.洛必达法则；c.利用导数的定义；d.泰勒公式.0（2）:a.洛必达法则；b.分子分母除最大的无穷大(抓大头).~2~xx各种函数关系：x,lnxx(0)aa(1)x.（3）0：转化成（1）或者（2）（4）:通分，倒代换，提出最大无穷大。gx()lim()ln()gxfx00gx()ln()fx（5）1,,0：lim()fxlimee。特别地：计算1型极限的最简单方法是使用如下公式：vxlim[ux1]vx

7、limuxe,式中limux1,limvx.3.已知极限求参数利用结论：fx()（1）lim()gx0,limA,则lim()0fx；gx()fx()（2）lim()0,limfxA0,则lim()0gx.gx()（3）已知lim()()fxgxA，lim()fx，则lim()0gx.题型三无穷小的比较无穷小量的比较定义：在自变量同一变化过程下()xx0,()0()x（1）高阶：若lim0，记为()xx[()];()x()x（2）低阶：若lim，记为()xx[()];()x

8、()x（3）同阶：若limC0,记为()xO[()];