交错级数及其审敛法(I)

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1、一、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.§3一般项级数证法一由区间套定理，即级数收敛于s.证法二满足收敛的两个条件,定理证毕.仍构成一个交错级数，解显然单调趋于0，解原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛证明与书上证法不同该定理的作用：任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛.解例5解绝对收敛。例6解发散。用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。三、绝对收敛级数的性质1、级数的重排映射称为正整数列的重排。定理证*即：绝对收敛的级数对加法有交换律。由（1）的证明得：下面证明两个级数的和相等。前面已证收敛的正项级数重排后和不变，证毕。上述证明过

2、程显然可以得到下面的结论：命题：同时可以证明：命题：证矛盾！可以证明：条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。设其收敛于A，两个级数相加，得2、级数的乘积两个无穷级数如何相乘？这两个级数中的项的所有可能的乘积为：……………………这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用正方形顺序和对角线顺序，分别为：……………………“正方形”排序级数为：……………………“对角线”排序级数为：定理（柯西定理）：则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.例考察：…………按对角线顺序，得该级数的和我们将来还会有其他方法求得。二、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理

3、（分部求和公式，Abel变换）：——离散型分部求和公式证代入即得。解释“离散型分部求和公式”推论（Abel引理）（2）对任一正整数，有证证毕。定理（Abel判别法）若（1）为单调有界数列，证再由Cauchy准则，证毕。定理（Dirichelet判别法）证由Cauchy准则，证毕。注（1）交错级数的Leibniz判别法是Dirichelet判别法的特例。（2）与反常积分类似，用Dirichelet判别法可以证明Abel判别法。无穷级数的Abel判别法：若（1）为单调有界数列，无穷积分的Abel判别法：无穷级数的Dirichelet判别法：无穷积分的Dirichelet判

4、别法：例同理，例解（1）由Dirichelet判别法，得收敛。（2）由Dirichelet判别法，得显然其收敛性取决于an的性质。特别：发散收敛发散作业P24.1(4)(5)(7)2(1)(3)