习题课(导数的应用

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1、中值定理和导数的应用习题课拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式

2、,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例3证由介值定理,注意到由,有+,得例4洛必达法则二、洛必达法则用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o.及时求出已定式的极限.1o.先做无穷小代换.用洛必达法则求未定式极限应注意什么？3o.需要先验证条件..应该怎么做？.解：.例1

3、例2解：..三、导数的应用1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题.2.熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值以及拐点的方法.3.求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线.4.会做y=f(x)的图形.5熟悉常用的克劳林公式定理1函数单调性的判定法2.求函数极值和最值求极值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求[a,b]上连续函数f(x)的最值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2)把f(x)在这些点的值与f(a),f(b)比较，最大者为最大值，最小者为最小值。注：若连续函数f(x)在区间I内有唯一的极值点。则极大值就

4、是最大值；极小值就是最小值。3计算函数凹凸区间方法1:方法2:3计算函数拐点方法.4.给定函数y=f(x),求其竖直渐近线及斜渐近线。......5.常用马克劳林公式：2m-1阶2m阶...5.常用马克劳林公式：....例1例2例3例4例1.证毕..例2解：....例3解：xy––––(–,0)(–,+)(0,+)..(–,+)例4解奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图