线性代数非齐次方程求解

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1、3.4线性方程组解的结构一、齐次线性方程组二、非齐次线性方程组返回一、齐次线性方程组即AX=0平凡解：X=0(零解)设A=(1,2,…,n),则下列命题等价：1o1,2,…,n线性相关;2oAX=0有非零解;1.AX=0解的判定条件（1）若R(A)

2、0的解向量的线性组合仍为AX=0的解.W={XRn

3、AX=0}为Rn的子空间（1）定义：W的一组基.1o1,2,…,s线性无关;则称1,2,…,s为AX=0的一个基础解系.2oAX=0的任一解向量均可由1,2,…,s线性表出定理1设R(A)=r

4、）（证明这样的解构成基础解系）设1,2,…,n-r为AX=0的一个基解系，则AX=0的解，=k11+k22+…+kn-rn-r,k1,k2,…,kn-rR.（1）AX=0的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量个数必为n(未知数个数)-R(A).AX=0的通解（2）若AX=0有非零解，则必有无穷多个解.5.通解注：6.AX=0的解法（四步）（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）（3）求基础解系（对自由未知量取值）（4）写出通解例1求方程组的通解解(2)得同解方程组(x2,x4为自由未知量)(3)基础解系为(4)通解为例2解解r(A)=

5、3=n,只有零解X=0例3解解得同解方程组(x3为自由未知量)基础解系为方程组通解为例4证明：与AX=0基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系.证两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等.设1,2,…,s是AX=0基础解系，1,2,…,s与之等价.1,2,…,s可由1,2,…,s线性表出，所以是AX=0的解；AX=0的任一解X可由1,2,…,s线性表出，故，1,2,…,s是AX=0的基础解系.又1,2,…,s可由1,2,…,s线性表出，所以X可由1,2,…,s线性表出；例5设n阶矩阵A,B满足AB

6、=O,证明：R(A)+R(B)≤n.证设B=(b1,…,bn),则AB=A(b1,…,bn)=(Ab1,…,Abn)=O,Abi=0,i=1,…,n.bi(i=1,…,n)为AX=0的解，所以可由基础解系1,2,…,n-r(r=R(A))线性表出.所以,R(B)=秩(b1,…,bn)≤秩(1,2,…,n-r)=n-R(A).即R(A)+R(B)≤n.第二章2.5例5设A为n阶矩阵(n≥2)，证明证①若R(A)=n:②R(A)

7、2+…+xnn=b,AX=b有解b可由1,2,…,n线性表出(AX=0称为AX=b的导出组)1.AX=b的导出组2.AX=b解的判定（1）若,AX=b无解（2）若,AX=b有解，且当，AX=b唯一解；当，AX=b无穷解.2.解的性质：性质1设1,2为AX=b的解,则1-2为其导出组AX=0的解.证A(1-2)=A1-A2=b–b=0所以，1-2为AX=0的解.性质2设为AX=b的解,为AX=0的解，则+为AX=b的解.证A(+)=A+A=b+0=b所以，+为AX=b的解.AX=b的特解：AX=b的任一解.性质3设

8、0为AX=b的一个特解,则AX=b的任一解可表为=0+,(为AX=0的一个解)对于AX=b的任一个特解0,当取遍它的导出组的全部解时，=0+就给出AX=b的全部解.性质3的证明=0+(-0)为AX=0的解，设为为了求AX=b的通解（全部解），只需求其一个特解0,以及导出组的全部解即可：设0为AX=b的一个特解，1,2,…,n-r为其导出组的基础解系，则AX=b的通解为X=0+k11+…+kn-rn-r,k1,…,kn-r∈R3.AX=b的通解（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）（4）求导出组的基础解系（对自