数学北师大版九年级下册3.4 圆周角和圆心角的关系

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1、3.4圆周角和圆心角的关系教学目标　　(一)教学知识点　　1．掌握圆周角定理几个推论的内容．　　2．会熟练运用推论解决问题．　　(二)能力训练要求　　1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．　　2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．　　(三)情感与价值观要求　　培养学生的探索精神和解决问题的能力.　　教学重点　　圆周角定理的几个推论的应用．　　教学难点　　理解几个推论的“题设”和“结论”．　　教学方法　　指导探索法．　　教学过程　　Ⅰ．创设问题情境，引入新课　　[师]请同学们回忆一下我

2、们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?　　[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．　　[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?　　[生]分类讨论、化归、转化思想方法．　　[师]同学们请看下面这个问题：　　已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．　　求证：PA·PB=PC·PD．　　[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线

3、AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习．　　Ⅱ．讲授新课　　[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)　　它们的大小有什么关系?你是如何得到的?　　[生]弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．　　[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC?(同学们互相交流、讨

4、论)　　[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．　　[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗?　　[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．　　[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗?　　[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．　　

5、[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．　　[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议．　　[生]如图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的.　　注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．　　(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．　　(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．　　[师]接下来我们看下面的问题：　　如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?(同学

6、们互相交流，讨论)　　[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°．　　[师]反过来，在图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?　　[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．　　[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：　　直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．　　注意：这

7、一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．　　[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2B)　　 [例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?　　[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．　　下面哪位同学能叙述

8、一下理由?　　[生]BD=CD．理由是：　　连结AD．　　∵AB是⊙O的直径，　　∴∠ADB=90°．　　即AD⊥BC．　　又∵AC＝AB,　　∴BD＝CD．　　[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明．　　[