简谐振动(黄颂翔)

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1、第十五章习题分析习题类型：1.证明系统作简谐振动并求振动周期；2.已知振动表达式，求各物理量；3.根据已知条件，建立振动表达式；4.力学综合性问题;5.有关振动叠加的问题.简谐振动例题例题1有一轻弹簧，当下端挂m1=10g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm。用这个弹簧和m2=16g的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度v0=5cm/s并开始计时，试求m2的振动周期和振动表达式。2mO0xx分析:振动系统的周期(或角频率)由系统本身性质决定;要求系统的振动

2、表达式,即要写出振幅、圆频率和初相这三个物理量.解:设弹簧原长为l，悬挂m1后伸长Δl达到平衡，则取坐标轴向上为正．取下m1挂上m2后，系统的角频率为2mO0xx能同时满足初始位移和初始速度的初相为一般将初相表示为弧度形式于是,振动表达式为问：如果取坐标轴向下为正，则初相变化否？例题3边长l=25cm的正方形木块，密度ρ=0.80克/厘米3，将木块刚好完全浸入水中后放手，求其运动形式及运动方程。振动表达式为：解：木块受浮力及重力作用.取竖直向下为坐标轴正方向，水面处为坐标原点.设木块平衡时浸入水中深度为b.则达平衡时有：如图

3、，当C点离O点为y时，作用在木块上的合力为由牛顿第二定律符合简谐振动的运动学判据，即木块作简谐振动。即初始时刻在最大位移处。振动表达式为例题4劲度系数为k的弹簧下端固定于地面，压上一重物后弹簧压缩b=9.8cm，给重物m以冲击力使其具有向下的初速v0=1米/秒，分析其运动及运动方程。解：取竖直向下为y轴正向，弹簧原长上端为原点O，当m在y位置时，受重力mg向下，弹性力-ky向上。由牛顿第二定律当重物的重力与弹性力平衡时，弹簧压缩量为b，此时弹簧处于平衡点Oˊmg=kb代入上式得即有可见物体作简谐振动。从这里看到，当物体除受回

4、复力作用外，还受恒力作用时，仍然作简谐振动。在新坐标系中求得由初始条件运动方程为由此可知，应注意初位相的确定与坐标轴的正向有关。解（1）设这一简谐振动的表式为由初始速度条件简谐振动的表式为由旋转矢量方法易求得初相（2）由位移的表式得因为物体向x轴负向运动，v<0,所以不取4π/3.求得由旋转矢量能直观地看出，第一次回到平衡位置时旋转矢量转过的角度为因而所需时间为例题6一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg，待其静止后再把物体向下拉10cm，然后由静止释

5、放，问：(1)此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A满足何条件？二者在何位置开始分离？解：小物体受力如图，设小物体随振动物体的运动加速度为a，按牛顿第二定律（取坐标轴向下为正）有即系统的最大加速度例题7:单摆（数学摆）由牛顿第二定律有“―”表示切向分力矩的指向恒与角位移方向相反。振动表式为例题8.复摆（物理摆）式中负号表示力矩的转向与角位移的转向相反。当摆角很小时，近似有根据转动定律或周期为k为复摆的回转半径.利用复摆可正确测定重力加速度的值，不同地质结构处的重力加速

6、度不同，可进行地质探矿。单摆、复摆的振动表达式、速度（角速度）表达式、加速度（角加速度）、振幅（角振幅）及初位相的表达式与弹簧振子的情况相似。圆频率与周期又可表示为:问题：谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为1/4周期吗？走过该距离的一半所需的时间为多少？是1/8周期吗？振子从平衡位置出发经历1/8周期时运动的位移是多少？辨析：振子作简谐运动时，从平衡位置运动到最远点所需的时间是1/4周期.因振子的运动速度不是常数，振子作变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是1/8周期.从旋转矢量图可以看出，振子从平衡位置P运

7、动到A/2处M点时，相应的振幅矢量转过了π/6的角度，即所以也就是说，振子从平衡位置O运动到A/2处所用的时间为T/12，而不是T/8.而振子从A/2处运动到最远点的时间为振子从平衡位置O出发，经过T/8时，位移为问题：一水平放置的弹簧振子，如图a所示，当其从A/2运动到-A/2时，所需的最短时间为1s.现将该弹簧振子竖直挂起，并让其振动，那么它的振动周期为多少？辨析：应当明确，弹簧振子的谐振周期（或圆频率）决定于系统本身的性质，即由弹簧的劲度系数和振子的质量来决定.只要k和m确定后，无论系统作怎样的简谐振动，周期都相同，即

8、按题意作旋转矢量图，当振子从A/2运动到-A/2时，相当于振幅矢量A从φ1=π/3旋转到φ2=2π/3，即转过了π/3的角度.因而转过π/3角度所用的时间是T/6.即T/6=1，T=6s.例1：如图所示，有两个完全相同的弹簧振子a和b，并排放在光滑的水平桌面上，测得它们的振动周期都是2s.