直线和圆大题训练

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1、1．已知点A（a，3），圆C的圆心为（1,2），半径为2.（I）求圆C的方程；（II）设a=3，求过点A且与圆C相切的直线方程；（III）设a=4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（IV）设a=2，直线过点A，求被圆C截得的线段的最短长度，并求此时的方程.2．已知圆，直线。（Ⅰ）求证：直线与圆C恒有两个交点；（Ⅱ）求出直线被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值；（Ⅲ）设直线与圆C的两个交点为M，N，且（点C为圆C的圆心），求直线的方程。3．已知圆C经过两点A（3，3），B（4，2），且圆心C在直线

2、上。（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线过点D（2，4），且与圆C相切，求直线的方程。4．已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若

3、AB

4、=，求直线MQ的方程。5．已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点，若直线与圆C相交于M，N两点，且为锐角，求实数m的取值范围．参考答案1．（I）；（II）或；（III）或；（IV）；.【解析】试题分析：（I）由圆

5、心和半径可得圆的方程为；（II）设切线方程的点斜式为，利用点到直线的距离为圆的半径2，可解出，当直线的斜率不存在时也满足题意；（III）由直线被圆截得的弦长为，故而圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离解出的值即可得直线方程；（IV）首先判断点在圆内，当与垂直时，直线截圆所得线段最短，可得直线的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长.试题解析：（I）圆C的方程为；（II）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为，即则圆心到直线的距离为，解得，即切线方程为，当斜率不存在时，直线方程为，满足题意，故过点A且与圆C相切的直线方程为或

6、；（III）设直线方程为，即，由于直线被圆截得的弦长为，故而弦心距为，，解得或，即直线的方程为或；（IV）∵，∴点在圆内，当与垂直时，直线截圆所得线段最短，∵，∴直线的斜率为，故直线的方程为，圆心到直线的距离为，故弦长为.2．(1)见解析；(2)，(3)【解析】试题分析：（1）直线可化为，证明直线过圆的内部定点，即可证明结论；(2)弦的中点与圆心连线与弦垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结果；(3)设与的夹角为，由，可得，从而，可得点到直线的距离为，利用点到直线距离公式求出列方程求得，从而可得直线的方程.试题解析：（1）直线可

7、化为，因此直线过定点A（2，-1），显然该点A在圆的内部所以直线与圆C恒有两个交点。(2)圆心C（1，-2），半径所以弦长此时所以。(3)设与的夹角为，因为所以，从而，所以点C到直线的距离为1即，所以所以直线的方程是。3．（1）（2）直线的方程为或【解析】试题分析：（1）两点式求得线段的垂直平分线方程，与直线联立可得圆心坐标，由两点间的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程；(2)验证斜率不存在时直线符合题意，设出斜率存在时的切线方程，各根据圆心到直线的距离等于半径求出，从而可得直线的方程为.试题解析：（1）因为圆C与轴交于

8、两点A（3，3），B（4，2），所以圆心在直线上由得即圆心C的坐标为（3，2）半径所以圆C的方程为(2)①当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即因为直线与圆相切，直线的方程为②当直线的斜率不存在时，直线方程为此时直线与圆心的距离为1（等于半径）所以，符合题意。综上所述，直线的方程为或。【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、圆的切线方程，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一

9、般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.4．（1）和；（2）；（3）或【解析】试题分析：（1）讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率；（2）根据面积公式可知MQ最小时，面积最小，从而得出结论；（3）根据切线的性质列方程取出MQ的值，从而得出Q点坐标，进而求出直线MQ的方程．试题解析：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，所以，所以m=或0，所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。（2）因为MA⊥AQ，所以S四边形MAQB=

10、

11、MA

12、·

13、QA

14、=

15、QA

16、=。所以四边形QAMB面积的最小值为。（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，所以

17、MP

18、=。在Rt△MBQ中，

19、MB

20、2=

21、MP

22、

23、MQ

24、，即1=

25、MQ

26、，所以

27、MQ

28、=3，所以x2+（y-2）2=9。设Q（x，0），则x2+22=9，所以x=±，