选修专题极坐标与全参数方程含问题详解

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1、标准文档2017高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1．极坐标的基本概念极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的（极角相差

2、的正数倍）．2．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：或者ρ＝，tanθ＝，其中要结合点所在的象限确定角θ的值，一般取.3．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：(t为参数)，其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论：①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则

3、AB

4、＝

5、tB－

6、tA

7、＝；②线段AB的中点所对应的参数值等于.(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：(θ为参数)(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：(θ为参数).4．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．实用文案标准文档高考热点突破（掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与普通方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提）例：在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，

8、以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程.突破点1：求交点坐标(2013全国1卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos

9、θ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.相关练习：1.在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为参数）,　以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。　（I）求圆C的极坐标方程；　（II）射线OM：与圆C的交点O、P两点，求P点的极坐标。解：(Ⅰ)圆C的参数方程化为普通方程是．即又，．于是，又不满足要求．所以圆C的极坐标方程是(Ⅱ)因为射线的普通方程为实用文案标准文档联立方程组消去

10、并整得．解得或，所以P点的直角坐标为所以P点的极坐标为解法2：把代入得所以P点的极坐标为2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：。（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为…

11、……………8分所以或实用文案标准文档所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分突破点2：求方程真题试做：(2010全国1卷)已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。相关练习：1.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C和直线的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，ρcos（θ+α）=2（其中tanα=2，α∈（0，））．（Ⅰ）求圆C和直线的直角坐

12、标方程；（Ⅱ）设圆C和直线相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程．解析：（Ⅰ）圆C的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，由于：tanα=2，α∈（0，）．则：，极坐标方程ρcos（θ+α）=2转化成直角坐标方程为：x﹣2y﹣2=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：解