高一实验班空间角及其求法

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1、空间角及其求法专题讲座空间角及其求法一.地位分析（1）教材地位分析立体几何板块主要有两大类型（1）判断、推理型（2）有关的几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。（2）高考地位分析在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，分值约4－15分，属于中等难度。备注：高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法异面直线所成角直线与平面所成二面角图示定义在空间任取一点o，分别作a，b的

2、平行线，从而形成的的锐（角）叫作异面直线所成角。斜线与它在平面内的射影所在的锐角从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。表示异面直线a、b所成角线a与α平面所成角α-ι-β（面-线-面）范围备注平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？附：二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。四.用定义求空间角的步骤1.作出所求的空间角<定位>2.证明所作的角符合定义<定性>3.构造三角形并求出所要求

3、角<定量>简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算”五.典例分析例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM和CN所成角。MN途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△D1EF即可。途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△ＮＧＣ即可。方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。例2.如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1

4、上的内分点，满足.（1）求证：A1P⊥平面AQD；（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1P⊥面AQD，设A1P交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知即为所求角，只需解三角形SPQ即可。方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。例3.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。解析1.定义法　　过D作DE⊥PC于E，过

5、E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。解析2.垂面法　　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。解析3.利用三垂线求解　　把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥

6、面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥PC即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可解析4.射影面积法　　由解析3的分析过程知，△PFC为△PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得，余下的问题比较容易解决！解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，连接EF即可。利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q即可。方法提炼3.求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１（2）三垂线求解在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２（3）垂面法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３图

7、示A．定义法（点在棱上）B.三垂线定理（点在面内）C.垂面法（点在空间内）（4）射影面积法利用射影面积与斜面的关系求解　如图所示，射影DDBC、斜面△ABC与两面所成的二面角q之间有：（5）空间余弦定理　运用公式求解，如例3解析5六.针对训练针对训练1.已知正方体中，E、F分别是棱、的中点。求EF与AD所成角的大小为__________，与平面所成角为______________。针对训练2.已知二面角a－l－b，A为面a内一点，A到b的距离为2，到l的距离为4。求