初中因式分解详解及提高篇

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1、初中因式分解详解及提高篇因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题，对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理，为了弥补这些缺陷，让大家更好地打牢初中的学习内容，在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述，从而让各位同学能够真正地

2、了解因式分解。由于有些方法对于初中有一定的难度，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。1.提公因式法（所有学生必须掌握）典型形式：注意上面的是一个数也可以是一个整式，再比如2.平方差（所有学生必须掌握）典型形式：同样上面的既可以是数也可以是一个整式3.配方法（所有学生必须掌握）对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子祖冲之杯奥赛题：（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法）4.十字相乘法（所有学生必须掌握）十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明前系

3、数为1的处理方法，我们先观察整式运算通过上面的式子可以看出的一次项是，纯数的那一项是，所以可以进行猜测试的值，一般是根据项进行推测，要是用推测会很麻烦。举个例子：，在这其中先猜8的由来，8只能是和（分式什么的不讨论），而不符合，所以只能是批注：通过上面的3的叙述可以知道，其实只要能用十字相乘法解决的问题，都是可以用配方法和平方差两种方法综合起来解决，而且可以发现，利用配方法和平方差更为简单，不用动脑，但是计算量可能会大一点。当前的系数不为1的时候，就应该从十字相乘法的原理入手，十字相乘法的图示如下图所示：图1下面可

4、能大家会有一些疑问，为什么会是这样乘？因为我也是从学生过来的，所以当初也不是很理解，只是知道这样乘，今天我想在这里说明一下。首先我们来看看整式运算图2图2是一个整式运算的规则，其中的要与另一个括号里的所有数相乘，在图1中的箭头也是分别指向，同理也是如此。那么这种前面的系数不为1到底该怎么做呢？同前面的系数为1一样，我们也可以从乘作为入手点，但是需要考虑的就不仅仅是纯数的加减来凑前面的系数，因为前面的系数与也是有关的。举个例子来说，首先从积来看，，，总共有四组数，怎么样两两相乘之后的两个数加起来是？可以想到，这说明和

5、是不会在一个括号里的因为前面的图2中可以知道，是没有办法乘到的，所以和不会在一个括号里，也即批注：对于系数不为1的问题其实是可以化为系数为1来进行计算的，为什么这么说，就拿来说，可以提出一个2，则写成，具体做法如下所示：注意猜分数的积的时候不要乱猜，比如上面的猜不合理的，因为前面的系数，怎么可能是，所以可以猜，于是就可以得出，再把2乘进去就可以了。5.换元法（对于想考到90分以上的学生可以学习，满分120）所谓换元就是将整式中的一部分利用一个字母进行代换，从而减小因式分解的运算难度。例1：本题中要是直接展开这些式子

6、进行因式分解会很难算，而且不容易处理式子之间的联系，那么这题该怎么处理呢？答，换元！可以发现上面括号里都有这一项，所以可以令，代入上式中可以知道代换回来有需要注意的问题是换元在代换回来的时候要注意是否还可以进行因式分解，因为要是没有分解到不能分解，因式分解就是不正确的，所以一定要进行验证。6.试根法（对于想考到90分以上的学生可以学习，满分120）所谓试根法其实很简单，我们先来看一下因式分解最后的形式：可以知道，要是我们把这个式子看成一个方程，也即，当取或者是的时候等式都是成立的，因为，所以对于某些高次因式分解可以

7、使用换元的方法处理，比如先进行试根，假设，可以发现，等式成立，所以必有这一项，因为，于是根据这个思想，我们就应该去凑着这一项，具体步骤如下上面的每一步都是在凑这一项，只要利用提公因式法将这些式子提出即可。批注：一般题目在考试根法的时候，根的大小不会很大，一般在左右，也可能是分数，但是不会很难猜，要是试了几次还不出来，说明这个问题不是用试根法处理，比如上面配方法里叙述的祖冲之杯那道奥数题这道题试根法就没办法做，那么这题该怎么做呢？十字相乘也没法做？前面的叙述中可以知道，其实十字相乘法可以转化为配方法和平方差法，那我们

8、可以试试配方法和平方差结合的方法，显然不对，因为结果太难看，一般奥数题是难，但是结果不会很难看，所以这样分是有问题的，那么该怎么分？答案:7.双十字相乘法（对于想考到110分以上的学生可以学习，满分120）所谓双十字相乘法就是十字相乘法的延伸，它的基本形式是由于前面对十字相乘法进行了很系统的讲解，在此只叙述具体该怎么做这些题目。例1：首先观察式子，中是不含的