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1、1§3、条件概率一、条件概率的概念与计算〖解〗易知：【引例】将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情况。设事件A：“两次同面”，事件B:“至少有一次正面”，求“在事件B发生的条件下事件A发生”的概率P(A
2、B)。在“至少有一次正面”发生的条件下计算A发生的概率时，可取B为样本空间（缩减样本空间），此时，A只含一个样本点HH，故■2显然，P(A
3、B)≠P(A)=1/2。定义1设A,B为两个事件,且P(B)>0,称为“在事件B发生的条件下事件A发生”的条件概率。由此，一般可定义条件概率。此外,在样本空间中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=1/4,且有3不难看出，计算条件概率P(A
4、
5、B)有两种方法：在原样本空间中分别求出P(A),P(AB),再按定义公式计算；在缩减样本空间B中按一般概率计算P(A).4〖解〗：由条件可得：【例1】一盒子装有5只产品，其中3只正品，2只次品。从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到也是正品的概率.分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取到正品”，则问题转化为求条件概率P(B
6、A).故有【例2】:某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.解：设A={下雨}，B={下雪}.（1）
7、（2）61、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公理及其各个性质。对立事件概率公式:等等,此处不一一列举.二、条件概率的性质例如，加法公式:7注意：①当P(A)>0时,乘法公式与条件概率定义式是等价的;②当P(A)>0,P(B)>0时,有P(AB)=P(A)P(B
8、A)=P(B)P(A
9、B);③乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B
10、A)P(C
11、AB)（其中P(AB)>0）.由条件概率定义即可得:乘法定理设A,B为两个事件,且P(A)>0,则2、乘法定理8【例3】据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律:P{孩子得病}
12、=0.6,P{母亲得病
13、孩子得病}=0.5,P{父亲得病
14、母亲及孩子得病}=0.4.求“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。〖解〗设A,B,C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事件。由题意知:现求由乘法公式得:■9注意由于本例中都是地位平等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求概率是积事件概率,而不是条件概率【例4】:一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解：设为第次抽到合格品的事件，则有113、全概率公式与贝叶斯公式（i）AiAj=Φ(i≠j,i,j=1,2,…,n);(ii)例如，在掷一枚骰子观察出现的
15、点数试验中，定义2设为随机试验E的样本空间,A1,A2,…，An为E的满足下列条件的事件组：则称A1,A2,…，An为样本空间的一个划分.B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}就是样本空间的一个划分.12【证】因为A可互斥分解为所以由有限可加性与乘法定理得：■定理1(全概公式)设为试验E的样本空间,A1,A2,…，An为的一个划分，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任意事件B有全概率公式：13【例5】：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0,1，2，3,4，概率0.1,0.2,0.4
16、,0.2，0.1，现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.解：以表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表示通过检验，则由题意得14【证】由条件概率、乘法定理与全概率公式得定理2(贝叶斯公式)设为试验E的样本空间,A1,A2,…，An为的一个划分,B为E的事件,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),P(B)>0,则有：15在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需要弄清楚：当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的，可以将这些“原因”看作划分.2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式1、如何
17、确定划分“由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯公式.16【例6】设工厂甲和工厂乙的产品次品率分别为1%和2%,现从甲与乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属甲厂生产的概率是多少?〖解〗由于产生次品的“原因”是“甲厂生产”和“乙厂生产”,因此,划分可设为:事件B为“随机抽取一件为次品”.由全概率公式得:17由贝叶斯公式得:■【例7】设某工厂有甲，乙，丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为
