《高等教育》PPT课件

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1、第三节函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结思考题1[数列极限]—整标函数[函数的极限]自变量变化过程的六种形式:数列极限:定义收敛数列的性质:复习与回顾唯一性、有界性、保号性、*子数列的收敛性.2单击任意点开始观察一、自变量x→∞时,f(x)的极限1.[引例]单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察观察完毕3通过上面演示实验的观察:即x→∞时,f(x)→0.2.[直观定义]在x→∞时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→∞时的极限

2、.记作①[水平渐近线]4直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线(单方向渐近).②[两种特殊情况][几何意义][例如]都有水平渐近线y=0(单方向渐近)[又如]都有水平渐近线y=1(单方向渐近)5[又如][定理]［课本P38第7题充要性(证明略)］故有水平渐近线y=0(双方向渐近)[例如]6二、自变量x→x0有限值时,函数f(x)的极限1.[引例]①函数在处的极限为②函数在处的极限为③函数在处的极限为２２２yAx１２３x→x0时函数f(x)的极限是否存在,与f(x)在x0处是否有定义并无关系.结论72.[直观定义]在x→x0时,函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x

3、→x0时的极限.记作3.[单侧极限][例如]8①[左极限]②[右极限][注意]x0的去心邻域x0的右邻域x0的左邻域2.函数的左、右极限与函数的极限是三个不同的概念,但三者之间有如下重要定理:9左右极限存在但不相等,[例1][证]③[极限存在定理]［课本P38第8题充要性(证明略)］[注]一般而言,分段函数的极限要分左右极限考察.10三、函数极限的性质[注]以下仅以形式为代表给出函数极限的一些定理，其它形式类推之。1.[唯一性][定理2]2.[有界性]局部113.[保号性][几何解释]容易推得下面更强的结论：[定理3][定理3*]局部常用于证明有关定理或证明题可以忽略12[推论][证明

4、]利用定理3反证之（略）.[思考]若推论中的条件为是否必有不一定!如考点13*4.[子列收敛性](函数极限与数列极限的关系（海因定理）)①[定义]②[定理4](函数极限与数列极限的关系（海因定理）)14应用——[例如]则有以下结果15函数极限与数列极限的关系（海因定理）函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.[说明]常用海因定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在③[推广]［方法一］：找两子列，求得对应的两函数值子列极限值不相等.或找一个子列，对应的函数值子列的极限值不存在.［方法二］：16[例2]（补）[证]二者不相等,17四、小结1.函数极限定义2.函数极限性质思

5、考题18[思考题解答]左极限存在,右极限存在,不存在.[作业]P38619