2018_2019学年高中数学第一章推理与证明3反证法教案（含解析）北师大版

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1、3反证法1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？提示：a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝

2、c2.1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论

3、矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．用反证法证明否(肯)定式命题[例1]　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．[思路点拨]　此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项．[精解详析]　假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．[一点通]　(1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，

4、不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题．1.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．证明：假设直线BM与A1N共面．则A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1

5、D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．2．直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．当点B在W上且不是W的顶点时，求证：四边形OABC不可能为菱形．证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝，设AC的中点为M，则M，因为M为AC和OB的交点，且m≠

6、0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以四边形OABC不可能是菱形.用反证法证明唯一性命题[例2]　求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．[思路点拨]　一般先证存在性，再用反证法证唯一性．[精解详析]　(1)存在性：因为2×＋1＝0，所以－为函数f(x)＝2x＋1的零点．所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－外还有零点x0，则f＝f(x0)＝0.即2×＋1＝2x0＋1，∴x0＝－

7、，这与x0≠－矛盾．故假设不成立，即函数f(x)＝2x＋1除－外没有零点．综上所述，函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．[一点通]　(1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．(2)“有且只有”的含义有两层①存在性：本题中只需找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．3．设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在

8、(－∞，＋∞)上仅有一个零点．证明：因为a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(lna)＝(1＋ln2a)elna－a＝aln2a>0，所以f(0)·f(lna)<0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，lna)内存在零点．假设至少有2个零点，则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，∴假设不成立，则f(x